幂迭代

形式陈述 ​

给定 $n$ 维实或复空间上的方阵或线性算子 $A$、非零初值 $x_0$、容差和最大迭代数，先按矩阵与向量二范数理路矩阵范数与诱导算子范数Matrix norm · Induced matrix norm · Operator norm of a matrix用诱导范数和常用可计算矩阵范数度量线性映射的放大能力，并区分算子范数、Frobenius 范数与谱半径。令 $\Vert x_0{\Vert }_2=1$，再反复计算

若 $\Vert y_{k+1}{\Vert }_2=0$，当前轨道已进入 $A$ 的核，算法不能继续归一化。特征值用 Rayleigh 商估计：

当 $x_k$ 已归一化时，分母为 $1$。每步需要矩阵—向量乘法和向量归一化；稠密矩阵成本为 $\mathrm{\Theta }(n^2)$，若压缩稀疏表示实际保存 $s$ 个条目（包括显式零和重复坐标），则为 $O(n+s)$，其中 $n$ 项包括输出初始化、范数计算和归一化。额外存储为若干向量，算法无需显式形成 $A^k$。

把迭代向量看成一个收敛序列理路序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。时，以下含次主特征值的结论取 $n\ge 2$，并假设 $A$ 可对角化，特征值按模排序为

且初值在主特征向量理路特征值与特征向量Eigenvalue and eigenvector满足 Tv=λv 且 v 非零的标量 λ 与向量 v。 $v_1$ 上的分量非零。写成 $x_0=\sum _i{c}_i{v}_i$ 后，

因此在符号或相位对齐后，方向误差有 $O(|{\lambda }_2/{\lambda }_1{|}^k)$ 的几何上界；若次主模对应的初始分量为零，实际衰减可以更快，不能把这个谱比无条件当作每条轨道的精确渐近因子。全部非主分量为零时，初值已经是目标方向。严格分离的是特征值的模，不是实部、实数大小或代数排序；若 $c_1=0$，主方向从轨道中永久缺席。

$n=1$ 时，若标量 $A\ne 0$，任意非零初值已经给出唯一特征方向，Rayleigh 商恰等于该标量；无需使用含 ${\lambda }_2$ 的谱比。零标量则进入前述零乘积分支。

当 ${\lambda }_1<0$ 时，归一化向量会在 $v_1$ 与 $-v_1$ 之间交替；复数主特征值则每步累积相位 ${\lambda }_1/|{\lambda }_1|$。因此方向误差应在符号或相位对齐后比较，或直接考察投影与残差，而不能只用 $\Vert x_{k+1}-x_k\Vert$。常用完成准则为

并同时检查相位对齐后的方向变化、零向量、非有限值与迭代上限。小残差到特征向量误差的转换仍需要谱分离和特征向量条件性。对 Hermitian 输入，残差—间隔界理路Hermitian 特征对的残差与方向证书Hermitian eigenpair residual bound · Residual-gap eigenvector angle bound把可计算特征对残差分别转成谱距离、结构化后向误差与有谱隙条件的方向界，并核验三阶扰动。明确给出候选值到互补谱的距离，以及不依赖符号或相位的方向误差；一般可对角化输入则可用Bauer–Fike 界理路Bauer–Fike 谱扰动定理Bauer–Fike theorem · Bauer-Fike theorem在可对角化假设下，以特征向量基的条件数控制全部新谱点，分清谱包围、配对和缺陷矩阵的边界。先认证谱距离。