Hermitian 特征问题的逆迭代与 Rayleigh 商迭代

移位反演把每个特征值 ${\lambda }_i$ 变成 $1/({\lambda }_i-\mu )$。原谱中离 $\mu$ 最近的点，反演后的模最大，于是普通幂迭代能够把它筛出。固定移位决定目标位置，动态 Rayleigh 移位则让当前向量反过来预测特征值，再把下一次放大中心移到更接近目标的地方。

接近收敛时 $A-{\mu }_{k}I$ 必然接近奇异，这不是偶然故障，而是“目标方向被强烈放大”的机制。危险在于线性系统必须仍以小后向误差求解；随手添加正则项会改变反演谱，也就改变正在逼近的特征问题。

对

逆移位特征值为 $-0.4,2,2/11$。目标 $4$ 对应唯一主模 $2$，次大模为 $0.4$，所以只要初值第二分量非零，方向误差至多按 $0.4/2=0.2$ 的几何尺度衰减；若初值第一分量为零而第三分量非零，则实际谱比更小，为 $(2/11)/2=1/11$。一次分解 $A-3.5I$ 后，每一步只是三角求解与归一化。

Rayleigh 商迭代的三次机制可以在二维对角例子中精确看见。取

其中 ${\varphi }_k$ 是以目标特征向量 $e_2$ 为中心的有符号局部角参数。Rayleigh 商为 ${\mu }_k=3-2{\sin }^2{\varphi }_k$，代入逆迭代可得

当 ${\varphi }_k$ 很小时，方向误差每步立方，且符号翻转只代表在目标方向两侧交替。

动态移位也可能在尚未收敛时恰好奇异。取 $A=\mathrm{diag}(-1,0,1)$，$x=(\epsilon ,1,\epsilon {)}^{\mathsf{T}}/\sqrt{1+2{\epsilon }^2}$，其中 $\epsilon \ne 0$ 任意小。Rayleigh 商恰为零，但 $Ax\ne 0$，而 $Ay=x$ 因中间坐标不相容而无解。故“足够接近”本身不能保证每一步可继续求解；奇异处理和残差判断属于算法必须给出的退出分支。

固定移位若恰位于两个 normal 特征值的中点，反演后会出现等模主值，迭代可能无法选择唯一方向。非正规矩阵中，“离移位最近”也不足以单独预测行为，因为特征向量条件性和伪谱会影响线性求解与吸引域；三次结论不能从 Hermitian 情形直接照搬。

对 Hermitian 矩阵，有限维谱定理理路有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。提供正交特征基，使逆迭代的每个谱分量按 (λj−μ)^{-1} 独立缩放；Rayleigh 商更新的局部高阶收敛正是在这个坐标分解中证明。

固定移位适合在已知谱位置附近求一个特征向量，最大优势是分解可复用；Rayleigh 商迭代以更高的局部速度换取每步重新分解。若同一移位要处理多个初值或多个右端，复用因子的收益尤其明显。

这两种方法一次追踪一个特征方向。需要整个谱时，QR 特征值算法理路QR 特征值算法QR algorithm · Shifted QR algorithm · Francis QR algorithm先化 Hessenberg 或三对角形，再用隐式移位 QR、bulge chasing 与 deflation 计算 Schur 形和全部特征值。通过隐式移位、Hessenberg 结构和 deflation 同时组织多个不变子空间，不是简单重复单向量逆迭代。

将候选 $({\theta }_k,x_k)$ 代回原方程后，Hermitian 残差证书理路Hermitian 特征对的残差与方向证书Hermitian eigenpair residual bound · Residual-gap eigenvector angle bound把可计算特征对残差分别转成谱距离、结构化后向误差与有谱隙条件的方向界，并核验三阶扰动。把谱距离与方向误差分开：前者由残差控制，后者还要除以候选值到其余谱的可靠距离。若目标是一簇近重根，子空间残差界理路谱簇子空间的残差与间隔界Invariant subspace residual bound · Davis–Kahan sin theta theorem · Subspace angle residual certificate把近似子空间的残差投到互补谱块，证明 Frobenius 与分隔区间下的二范数角度界，避免追踪重根内部任意基。度量整簇的主角，避免追踪簇内任意选定的轴。