形式陈述

设 $(X,\mu)$$(X,\mu )$、$(Y,\nu)$$(Y,\nu )$ 为 $\sigma$$\sigma$-有限测度空间。若 $f:X\times Y\to\mathbb C$$f:X\times Y\to \mathbb{C}$ 对乘积测度可积，即

$$ \int_{X\times Y}|f|\,d(\mu\times\nu)<\infty, $$$${\int }_{X\times Y}|f|d(\mu \times \nu )<\mathrm{\infty },$$

则对几乎处处的 $x,y$$x,y$，截面分别可积，迭代积分存在，并且

$$ \int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu) =\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y). $$$${\int }_{X\times Y}fd(\mu \times \nu )={\int }_X({\int }_{Y}f(x,y)d\nu (y))d\mu (x)={\int }_Y({\int }_{X}f(x,y)d\mu (x))d\nu (y).$$

对非负可测 $f$$f$，Tonelli 定理无需绝对可积性，等式允许为 $+\infty$$+\mathrm{\infty }$。

直觉

绝对可积性保证正负部分都不会产生依赖积分顺序的无穷抵消；非负函数没有抵消问题，因此 Tonelli 可以先积分再判断是否有限。

例子与边界

矩形指标函数给出乘积测度公式 $(\mu\times\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$$(\mu \times \nu )(A\times B)=\mu (A)\nu (B)$。若条件收敛而不绝对收敛，交换积分顺序可能得到不同值或一侧不存在；这与级数重排类似。$\sigma$$\sigma$-有限性是标准乘积测度和截面定理中的重要假设，不能无声删除。Fubini 不等同于初等多元微积分中的变量代换，后者还涉及 Jacobian。

推论与应用

Fubini–Tonelli 支撑期望的迭代计算、卷积、积分核算子、概率独立性和 PDE 能量估计，也是证明求和与积分交换的统一工具。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，§2.5, product measures, Tonelli, and Fubini。
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987，Ch. 8, integration on product spaces。