Fubini 定理

把二元函数先固定一个坐标，就得到一族截面函数；Fubini 说明在绝对可积时，先对哪一族截面求平均都不会改变总结果。绝对可积性排除了正负质量在不同方向上以不同次序抵消。因而“交换积分顺序”不是符号操作，而是一条关于可积性、截面可测性和乘积空间的定理。

矩形指标函数给出乘积测度公式 $(\mu \times \nu )(A\times B)=\mu (A)\nu (B)$。若条件收敛而不绝对收敛，交换积分顺序可能得到不同值或一侧不存在；这与级数重排类似。$\sigma$-有限性是标准乘积测度和截面定理中的重要假设，不能无声删除。Fubini 不等同于初等多元微积分中的变量代换，后者还涉及 Jacobian。

若 $X,Y$ 独立且 $h(x,y)=u(x)v(y)$ 可积，则

这里既用到乘积分布，也用到可交换的迭代积分。对双重级数，取计数测度后同一定理说明绝对可和时可任意换序；条件收敛时则可能出现不同结果。

乘积测度公理库乘积测度Product measure在乘积 σ-代数上把可测矩形的测度规定为边测度乘积的测度。提供二重积分的底层空间，Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。先处理非负函数，Fubini 再在绝对可积公理库Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。条件下处理有符号函数。独立性、卷积、积分算子和 PDE 能量计算都把复杂总量拆成截面后使用这一交换原则。高维Monte Carlo 积分公理库Monte Carlo 积分Monte Carlo integration · Monte Carlo quadrature将积分改写为随机变量期望，以独立样本均值估计并用方差和概率假设量化随机误差。可以把乘积空间上的积分整体视为一个期望；若要分坐标调换积分、条件化或重新排列估计，仍须先满足本页的可积与换序条件。