行化简

行变换是在不改变方程约束集合的前提下重写方程：把冗余和依赖逐步显露，最终让主变量与自由变量一目了然。

初等行变换相当于对方程组做可逆的重新组合，因此不改变解集。阶梯形把主元变量与自由变量分离，化简行阶梯形进一步给出唯一规范结果。行变换保持行空间与秩，却通常改变列空间中的具体列向量，不能把所有矩阵性质都视为不变。

增广矩阵中的行 $[0\cdots 0\mid c]$ 且 $c\ne 0$ 表示矛盾，系统无解。矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ 消元后第二行为零，秩为 $1$。行交换和倍加保持行列式到一个可追踪因子，但不会逐步保持行列式数值；它们也不保持特征值。行等价不是相似：相似变换必须同时反映定义域和陪域基变化，形式为 $P^{-1}AP$。列变换一般改变原未知变量坐标，若用于解方程必须同步记录变量替换。精确代数中只需主元非零，浮点消元却要用选主元与增长因子公理库主元选取与增长因子Pivoting · Growth factor · Partial pivoting通过行列置换限制消元乘子和中间元素增长，并把主元策略与 LU 的有限精度后向误差联系起来。控制舍入传播，因为代数上的非零主元在数值尺度下可能极小。

对增广矩阵

第二个变量自由，解为 $(3-2t,t)$。若出现一行 $(0,0\mid 1)$，系统无解。交换两列会改变变量含义，不属于保持同一方程组的行变换。

行消元计算秩、逆矩阵公理库矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。、核基和线性系统解，是 Gaussian elimination、LU 分解与线性代数软件的基础。教学中的完整 RREF 以给出规范形和参数解为目标；大型浮点方阵求解通常使用带主元的 Gaussian 消元或 LU 因子公理库Gaussian 消元与 LU 分解Gaussian elimination · LU factorization · PA equals LU把 Gaussian 消元保存为可复用的带置换 LU 分解，再用三角求解处理一个或多个右端。，不会把计算全部推进到 RREF。

线性方程组公理库线性方程组System of linear equations可写为矩阵方程 Ax=b 的有限个一次方程系统。的可解性、解空间参数化与 秩公理库线性映射的秩Rank of a linear map · Matrix rank线性映射像空间的维数，表示其保留下来的独立输出方向数。都可由行化简读出。它还用于求逆、提取基、检验线性无关，并发展为 PID 上的 Smith 标准形和数值线性代数中的消元算法。