行化简

行变换是在不改变方程约束集合的前提下重写方程：把冗余和依赖逐步显露，最终让主变量与自由变量一目了然。

例如“第二个方程减去第一个方程的两倍”可以用相反的加法还原。每一步都可逆，原方程组与化简后的方程组便表达同一组约束。出现零行意味着某个方程可由其他方程组合得到；出现主元则留下一个独立约束。

从主元读出解 ​

对增广矩阵

第二行减去第一行的两倍后成为零行，系数矩阵只有一个主元，秩为 $1$。第二个变量自由：令 $y=t$，第一行给出 $x=3-2t$，全部解为 $(3-2t,t)$。

若把原来第二行的右端项由 $6$ 改为 $7$，同一步消元就得到 $(0,0\mid 1)$，即 $0=1$，所以无解。一般地，增广矩阵中的行 $[0\cdots 0\mid c]$ 在 $c\ne 0$ 时给出这种矛盾。

行变换如何改变矩阵 ​

行变换保持行空间，也保持列之间的线性依赖关系，因此保持秩。列向量本身则会随左乘的初等矩阵移动。例如把 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$ 的第二行减去第一行，列空间就从 $\mathrm{span}\{(1,1)\}$ 变为 $\mathrm{span}\{(1,0)\}$，维数仍为 $1$。

对方阵，交换两行使行列式变号，一行乘以 $c\ne 0$ 使行列式乘以 $c$，一行加上另一行的倍数则保持行列式。这样可以在消元过程中跟踪行列式。相似变换 $P^{-1}AP$ 则表示同一算子的换基，保持特征值；单独做行变换没有这项性质，例如在实数域上，把单位矩阵的一行乘以 $2$ 就改变了特征值。

列变换对应未知变量的坐标替换。例如交换系数矩阵的两列，就要同时交换这两个变量的位置。用列变换求解时，把这些替换记录下来，才能将最后的坐标还原为原未知量。

精确消元与浮点消元 ​

精确代数中，每个非零主元都可以用来做除法。浮点消元还要考虑尺度：除以很小的主元可能产生很大的消元倍数，放大舍入误差。选主元与增长因子理路主元选取与增长因子Pivoting · Growth factor · Partial pivoting通过行列置换限制消元乘子和中间元素增长，并把主元策略与 LU 的有限精度后向误差联系起来。用于分析并控制这种误差传播。

行化简统一处理线性方程组理路线性方程组System of linear equations可写为矩阵方程 Ax=b 的有限个一次方程系统。的可解性、参数解与秩理路线性映射的秩Rank of a linear map · Matrix rank线性映射像空间的维数，表示其保留下来的独立输出方向数。。把自由变量依次取为标准坐标，可以从齐次方程的参数解中读出核的一组基；把可逆矩阵的增广块 $[A\mid I]$ 化成 $[I\mid B]$，则得到逆矩阵理路矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。 $B=A^{-1}$。

完整 RREF 适合展示规范形和参数解。大型浮点方阵求解通常使用带主元的 Gaussian 消元或 LU 因子理路Gaussian 消元与 LU 分解Gaussian elimination · LU factorization · PA equals LU把 Gaussian 消元保存为可复用的带置换 LU 分解，再用三角求解处理一个或多个右端。，再以回代求解；同一系数矩阵对应多个右端项时，保存的因子还可以重复使用。

在Horton圈基算法理路Horton 最小权圈基算法Horton minimum cycle basis algorithm · Horton algorithm for minimum cycle basis · Horton 最小环基算法从一致最短路树构造多项式大小的圈候选，证明候选完备性，再用二元消元选出总权最小的圈基。中，每条候选圈是一行二元边向量，消元只需异或主元行。剩余为零表示该圈已在旧张成内；非零剩余给新主元。用于消元的剩余向量可能是多个圈的并，输出时仍须保留被接受的原简单圈及其边ID。