正交矩阵与酉矩阵

形式陈述 ​

实方阵 $Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 称为正交矩阵，若

$$Q^{\mathsf{T}}Q=I_n.$$

复方阵 $U\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 称为酉矩阵，若

$$U^{\ast }U=I_n,$$

其中 $U^{\ast }={\bar{U}}^{\mathsf{T}}$ 是共轭转置。因为矩阵是方阵，左逆同时是右逆，所以

$$Q^{-1}=Q^{\mathsf{T}},U^{-1}=U^{\ast }.$$

这些条件等价于列向量构成标准内积公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。下的标准正交基；也等价于行向量构成标准正交基。对任意向量 $x,y$，

$$⟨Ux,Uy⟩=x^{\ast }{U}^{\ast }Uy=x^{\ast }y=⟨x,y⟩.$$

因而酉矩阵保持内积、Euclidean 范数、距离与夹角。实正交矩阵是酉矩阵在实数域上的对应物。

正交矩阵群记作 $O(n)$。由行列式恒等式

$$\det \left(Q^{\mathsf{T}}Q\right)=\det {\left(Q\right)}^2=1$$

可知 $\det Q=\pm 1$；其中行列式为 $1$ 的子群 $SO(n)$ 表示保定向的旋转，行列式为 $-1$ 的元素包含反射。酉矩阵的特征值都位于单位圆上，因为若 $Uv=\lambda v$ 且 $v\ne 0$，则 $\Vert v\Vert =\Vert Uv\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert$。

直觉 ​

正交或酉变换可以旋转、反射以及在复空间中改变相位，但不会伸长任何方向。一般矩阵会把单位球变成椭球；正交矩阵把单位球原样搬到自身。逆变换无需重新求解线性方程，只要转置或共轭转置，就能把这次刚性运动撤销。

“列正交”意味着不同输入坐标被送到互相垂直且长度为一的输出方向。方阵条件保证这些方向填满整个空间；少一列时仍可保持定义域中的长度，却不是整个陪域上的可逆刚性运动。

例子与计算 ​

二维旋转矩阵

$$Q_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

满足 $Q_{\theta }^{\mathsf{T}}{Q}_{\theta }=I$ 且 $\det Q_{\theta }=1$。取 $\theta =\pi /2$，向量 $(2,1{)}^{\mathsf{T}}$ 被送到 $(-1,2{)}^{\mathsf{T}}$，两者范数都为 $\sqrt{5}$，而转置矩阵正好旋转 $-\pi /2$ 将它送回。

Householder 反射

$$H=I-2\frac{v{v}^{\mathsf{T}}}{v^{\mathsf{T}}v},v\ne 0,$$

满足 $H^{\mathsf{T}}=H$ 与 $H^2=I$，所以正交且 $\det H=-1$。它把 $v$ 方向反向，保持 $v^{\perp }$ 中的每个向量不变。

复数例子 $U=\mathrm{diag}(1,i)$ 满足 $U^{\ast }U=I$，但 $U^{\mathsf{T}}U=\mathrm{diag}(1,-1)\ne I$。这说明复空间必须使用共轭转置；只做普通转置会丢失 Hermitian 内积中的共轭。

边界与失败情形 ​

若 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 且 $m>n$，条件 $A^{\mathsf{T}}A=I_n$ 只说明其列正交，$A$ 是从 ${\mathbb{R}}^n$ 到列空间的等距嵌入。此时 $A{A}^{\mathsf{T}}$ 是投影到列空间的矩阵，通常不等于 $I_m$，也不存在双侧逆。因此不能把长方矩阵称为正交矩阵而沿用 $A^{-1}=A^{\mathsf{T}}$。

近似满足 ${\hat{Q}}^{\mathsf{T}}\hat{Q}\approx I$ 不等于定义上正交。浮点 QR 算法产生的矩阵会有正交性残差

$$\Vert I-{\hat{Q}}^{\mathsf{T}}\hat{Q}\Vert ,$$

其大小取决于算法与舍入误差。数值稳定性是实现性质，不包含在代数定义中；经典 Gram–Schmidt 与 Householder QR 即使目标分解相同，有限精度表现也不同。

保持行列式绝对值为一并不足以正交。例如 $A=\mathrm{diag}(2,1/2)$ 的行列式为一，却把坐标方向分别拉伸两倍和压缩一半，故 $A^{\mathsf{T}}A\ne I$。保持某一个向量的范数也不足以推出保持所有内积。

推论与应用 ​

正交相似变换 $A\mapsto Q^{\mathsf{T}}AQ$ 保持特征多项式，并且在 Euclidean 范数下不放大向量误差。实对称矩阵可被正交对角化，复正规矩阵可被酉对角化；这里的正交/酉基使谱分量之间不发生几何畸变。

Givens 旋转一次消去选定的一个矩阵元素，Householder 反射一次处理整段向量，两者都是结构化正交变换。QR 分解通过它们把矩阵化为上三角形，同时尽量避免条件数因变换本身恶化。离散 Fourier 变换在适当归一化后则是酉矩阵。

参考资料

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge University Press, 2013，§2.1–2.5。
• Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations, 4th ed., Johns Hopkins University Press, 2013，§5.1–5.2。
• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed., Springer, 2015，Ch. 7。