正交矩阵与酉矩阵

正交或酉变换可以旋转、反射以及在复空间中改变相位，但不会伸长任何方向。一般矩阵会把单位球变成椭球；正交矩阵把单位球原样搬到自身。逆变换无需重新求解线性方程，只要转置或共轭转置，就能把这次刚性运动撤销。

“列标准正交”意味着不同输入坐标被送到互相垂直且长度为一的输出方向。方阵条件保证这些方向填满整个空间；少一列时仍可保持定义域中的长度，但像只占据陪域的一个子空间。

二维旋转矩阵

满足 $Q_{\theta }^{\mathsf{T}}{Q}_{\theta }=I$ 且 $\det Q_{\theta }=1$。取 $\theta =\pi /2$，向量 $(2,1{)}^{\mathsf{T}}$ 被送到 $(-1,2{)}^{\mathsf{T}}$，两者范数都为 $\sqrt{5}$，而转置矩阵正好旋转 $-\pi /2$ 将它送回。

Householder 反射

满足 $H^{\mathsf{T}}=H$ 与 $H^2=I$，所以正交且 $\det H=-1$。它把 $v$ 方向反向，保持 $v^{\perp }$ 中的每个向量不变。

复数例子 $U=\mathrm{diag}(1,i)$ 满足 $U^{\ast }U=I$，但 $U^{\mathsf{T}}U=\mathrm{diag}(1,-1)\ne I$。这说明复空间必须使用共轭转置；只做普通转置会丢失 Hermitian 内积中的共轭。

等距嵌入、浮点近似与其他保量条件 ​

若 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$、$m>n$ 且 $A^{\mathsf{T}}A=I_n$，其列向量构成一组标准正交向量，$A$ 是从 ${\mathbb{R}}^n$ 到列空间的等距嵌入。$A^{\mathsf{T}}$ 把列空间中的向量送回原来的坐标，因而是左逆；而 $A{A}^{\mathsf{T}}$ 只投影到这个 $n$ 维列空间。它的秩为 $n<m$，所以确定不等于 $I_m$。这类长方矩阵保留长度，却没有方阵正交矩阵的双侧逆。

浮点 QR 算法的输出用正交性残差衡量其接近精确正交矩阵的程度：

其大小取决于算法与舍入误差。经典 Gram–Schmidt 与 Householder QR 求同一种分解，但保留正交性的数值表现可以不同，因此实现中会检查这个残差。

保持体积与保持长度是不同的要求。例如 $A=\mathrm{diag}(2,1/2)$ 的行列式为一，却把两个坐标方向分别拉伸两倍和压缩一半，故 $A^{\mathsf{T}}A\ne I$。它恰好把 $(1,2{)}^{\mathsf{T}}$ 送到等长的 $(2,1{)}^{\mathsf{T}}$；检查这个向量会通过，检查第一坐标方向就会发现长度改变。正交条件要求所有向量的内积都保持。

正交相似变换 $A\mapsto Q^{\mathsf{T}}AQ$ 保持特征多项式，并且在 Euclidean 范数下不放大向量误差。实对称矩阵可被正交对角化，复正规矩阵可被酉对角化；这里的正交/酉基使谱分量之间不发生几何畸变。

Givens 旋转一次消去选定的一个矩阵元素，Householder 反射一次处理整段向量，两者都是结构化正交变换。QR 分解通过它们把矩阵化为上三角形，同时尽量避免条件数因变换本身恶化。离散 Fourier 变换在适当归一化后则是酉矩阵。