Hamilton 系统

形式陈述 ​

在相空间 ${\mathbb{R}}^{2d}$ 中写状态 $z=(q,p)$，其中 $q,p\in {\mathbb{R}}^d$ 分别表示广义位置与动量。给定连续可微的 Hamiltonian

$$H:{\mathbb{R}}^{2d}\to \mathbb{R},$$

canonical Hamilton 方程为

$$\dot{q}={\mathrm{\nabla }}_{p}H(q,p),\dot{p}=-{\mathrm{\nabla }}_{q}H(q,p).$$

令标准辛矩阵

$$J=\left(\begin{array}{cc}0& I_d\\ -I_d& 0\end{array}\right),J^{\mathsf{T}}=-J,$$

则方程可紧写为常微分方程公理库常微分方程Ordinary differential equation · ODE未知函数及其单一自变量导数组成的方程。

$$\dot{z}=J\mathrm{\nabla }H(z).$$

若 $H\in C^2$，向量场局部 Lipschitz，故每个初值都有局部唯一解。只要解存在，沿轨道的 Hamiltonian 保持不变：

$$\frac{d}{dt}H(z(t))=\mathrm{\nabla }H(z(t){)}^{\mathsf{T}}\dot{z}(t)=\mathrm{\nabla }H(z(t){)}^{\mathsf{T}}J\mathrm{\nabla }H(z(t))=0,$$

因为任意实向量 $v$ 对反对称矩阵都满足 $v^{\mathsf{T}}Jv=0$。若 $H$ 显含时间，$H=H(t,q,p)$，则沿解有 $dH/dt=\partial H/\partial t$，一般不再守恒。

Hamilton 流还保持辛形式。若 ${\mathrm{\Phi }}_t$ 是由方程生成的流且对初值可微，则

$$(D{\mathrm{\Phi }}_t(z){)}^{\mathsf{T}}{J}^{-1}D{\mathrm{\Phi }}_t(z)=J^{-1}.$$

由取行列式可推出相空间体积保持，但辛性比体积保持更强：它同时约束每个位置—动量平面上的有向面积结构。

直觉 ​

梯度 $\mathrm{\nabla }H$ 指向 Hamiltonian 增长最快的方向，乘以 $J$ 相当于在每个 $(q_i,p_i)$ 平面旋转四分之一圈。于是速度始终与能量梯度正交，轨道沿着等能面运动而不横穿它。这个几何结构把“守恒”写进了向量场的生成方式，而不是事后观察到的数值巧合。

位置变化由能量对动量的敏感度决定，动量变化则由能量对位置的负梯度决定。对机械系统 $H=T(p)+V(q)$，第一式把动量转成速度，第二式就是由势能产生的力。

例子与计算 ​

一维质量—弹簧系统的 Hamiltonian 为

$$H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{k{q}^2}{2},m,k>0.$$

Hamilton 方程给出

$$\dot{q}=\frac{p}{m},\dot{p}=-kq.$$

消去 $p$ 得 $m\ddot{q}+kq=0$。若初值为 $q(0)=a,p(0)=0$，则

$$q(t)=a\cos \left(\omega t\right),p(t)=-ma\omega \sin \left(\omega t\right),\omega =\sqrt{k/m}.$$

代回可见 $H(t)=k{a}^2/2$；相轨道是椭圆，而非向平衡点螺旋收缩。

自由粒子取 $H=p^2/(2m)$，得到 $p(t)=p_0$、$q(t)=q_0+p_{0}t/m$。能量守恒不意味着状态静止，它只把轨道限制在固定能级上。

边界与失败情形 ​

任意守恒 ODE 不自动是给定坐标下的 canonical Hamilton 系统。三维刚体或带约束系统可能具有 Poisson 结构，需要状态依赖的反对称张量；耗散系统 $\dot{q}=p,\dot{p}=-q-\gamma p$ 则使机械能满足

$$\frac{d}{dt}\frac{q^2+p^2}{2}=-\gamma p^2\le 0,$$

显然不是标准 Hamilton 流。

辛性与精确能量守恒不是同一性质。辛数值方法通常精确保持一个离散辛形式，并在长时间内使能量误差有界振荡，却未必逐步满足 $H(z_{n+1})=H(z_n)$。反过来，一个专门投影回能量面的算法可能精确保能，却破坏相空间的辛结构。

能量守恒也不保证解全局存在。若 Hamiltonian 的等能面不紧，轨道可能逃向无穷远；要从守恒量推出全局有界，还需能量的强制性等附加条件。平衡点由 $\mathrm{\nabla }H=0$ 给出，但它可以是稳定中心、鞍点或更退化类型，不能仅凭“能量不变”判定稳定。

若 $H$ 不够光滑，局部唯一性和可微流都可能失败。能量沿解的链式推导至少需要可用的可微性，辛流结论通常要求更高正则性。

推论与应用 ​

Hamilton 结构连接经典力学、几何光学、分子动力学与偏微分方程的半离散系统。Poisson 括号

$$\{F,G\}=\mathrm{\nabla }{F}^{\mathsf{T}}J\mathrm{\nabla }G$$

把任意观测量沿流的变化写为 $dF/dt=\{F,H\}$；因 $\{H,H\}=0$，能量守恒成为反对称性的直接结果。

结构保持积分器以离散映射逼近 ${\mathrm{\Phi }}_h$，重点保留辛几何而不只追求单步截断误差。对长时间轨道，几何性质往往比每一步的能量精确相等更能阻止非物理漂移。

参考资料

• V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, 1989，Ch. 8–9。
• Jerrold E. Marsden and Tudor S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, 2nd ed., Springer, 1999，Ch. 2。
• Ernst Hairer, Christian Lubich, and Gerhard Wanner, Geometric Numerical Integration, 2nd ed., Springer, 2006，Ch. VI。