偏迹

偏迹回答“只能操作 $A$ 的观察者会看到什么”。它不猜测 $B$ 处于哪个状态，也不选择某个测量结果；它只把所有局部统计预测整理为 $A$ 上的密度算子。

准确的保证是：对任意 $A$ 上的测量效应 $E$，

左边先丢弃 $B$ 再计算概率，右边把局部测量嵌入完整系统，二者相同。这一恒等式也唯一确定偏迹：有限维中，测量效应的复线性张成是全部算子空间。具体说，任意 Hermitian 算子可按谱分解写成秩一投影的实线性组合，任意算子又可分成两个 Hermitian 算子的复线性组合。因此恒等式由线性性扩展到所有算子后，才可选取矩阵单位，逐项确定 ${\rho }_A$ 的元素；非对角矩阵单位本身一般不是测量效应。

两种联合态，同一个局部态 ​

取 Bell 态 ${\rho }_{\mathrm{B}}=|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩⟨{\mathrm{\Phi }}^{+}|$，其中 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=(|00⟩+|11⟩)/\sqrt{2}$。先展开为四项，再用

逐项计算。$|00⟩⟨00|$ 与 $|11⟩⟨11|$ 分别留下 $|0⟩⟨0|$ 和 $|1⟩⟨1|$；交叉项 $|00⟩⟨11|$ 及其共轭转置因为 $⟨1|0⟩=0$ 消失。因此

经典相关态 ${\rho }_{\mathrm{C}}=(|00⟩⟨00|+|11⟩⟨11|)/2$ 本来就没有交叉项，故偏迹也是 $I/2$。两者对任何只作用于 $A$ 的测量给出相同概率，却在联合测量上可区分：Bell 态的 $X\otimes X$ 期望为 $1$，经典相关态为 $0$。

图中两条箭头汇合表示局部信息相同，不表示原来的两个联合态相等，也不表示可以从 $I/2$ 反推出唯一联合态。

偏迹不是删行列，也不是条件化 ​

从 Bell 密度矩阵删掉若干行列得到的主子矩阵，既不执行上面的指标求和，也可能不再具有单位迹。正确实现要把矩阵看成四指标数组，再收缩 $B$ 的两个指标。

如果在 $B$ 上测计算基并且得知结果为 $0$，$A$ 的条件态是 $|0⟩⟨0|$；若得知结果为 $1$，则为 $|1⟩⟨1|$。偏迹对应不持有这个结果标签，因而保留两种分支的加权平均 $I/2$。把某个分支归一化会改变问题，不能冒充“丢弃 $B$”。

量子传态公理库量子传态Quantum teleportation · 量子隐形传态以预共享 Bell 对和两位经典消息传输未知 qubit 状态，逐分支证明校正，并计算消息到达前的最大混合态。把这个区分用于完整协议：Bob 未知 Alice 的两位测量标签时，四个条件态的等权平均为 $I/2$；获知标签后，他才可选择对应校正。该页既逐项复算复振幅例子，也用任意效应证明所有局部测量的输入无关性。

为什么结果仍是合法状态 ​

对任意向量 $v\in {\mathcal{H}}_A$，

所以约化态半正定；对 $i,j$ 求和可得 $\mathrm{Tr}{\rho }_A=\mathrm{Tr}{\rho }_{AB}=1$。更换 $B$ 的正交基时，基变换矩阵的酉性使双重求和化为 ${\delta }_{jl}$，因此定义不依赖所用基。

POVM公理库正算子值测度（POVM）Positive operator-valued measure · POVM · 正算子值测度有限结果 POVM 是一组和为恒等算子的半正定效应算子，它通过迹公式规定各测量结果的概率。把局部概率恒等式推广到任意有限结果测量。量子通信公理库量子通信复杂度Quantum communication complexity允许双方交换量子寄存器并选择是否预共享纠缠，以 qubit 数、经典 bit 数和错误概率共同衡量协议。中，接收消息之前的一方只能访问自己的约化态；这正是区分“共享关联”与“已经得到对方输入”的起点。

偏迹是量子信道公理库量子信道Quantum channel · CPTP map · Completely positive trace-preserving map量子信道是完全正且保持迹的线性映射，描述包含噪声、测量结果遗忘和子系统丢弃的确定性量子状态变换。的一种：它确定性地丢弃子系统而保持剩余状态合法。给定局部混态，量子态纯化公理库量子态纯化Quantum state purification · Purification of a quantum state量子态纯化将一个混态表示成较大系统中纯态的约化态，最小辅助空间维数等于原态的秩。回答是否能为它构造一个纯的联合扩展；这种扩展不唯一，因此并不是把偏迹丢失的信息唯一恢复回来。

自测：对 $|\psi ⟩=\sqrt{3/4}|00⟩+\sqrt{1/4}|11⟩$ 计算 ${\rho }_A$。应得到 $\mathrm{diag}(3/4,1/4)$，纯度为 $5/8$；同时 ${\rho }_{AB}$ 仍是纯态，纯度为 $1$。这两个纯度对应不同系统，不能混用。