量子态保真度与最优纯化重叠

形式陈述

设 $\rho,\sigma$ 是同一有限维复空间 $A$ 上的密度算子。本页采用根保真度

f(\rho,\sigma) =\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1 =\operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt\rho\,\sigma\sqrt\rho}, \qquad F(\rho,\sigma)=f(\rho,\sigma)^2.

其中 $\|M\|_1=\operatorname{Tr}\sqrt{M^\dagger M}$ ，所有半正定矩阵的平方根均取半正定平方根。由谱定理，这就是在正交特征基上逐个开平方，包括把零特征值仍映为零。两种保真度记号在文献中都常见；本页用小写 $f$ 表示根，大写 $F$ 表示平方，引用数值时也保持这一区分。

Uhlmann 定理。 取一个共同辅助空间 $R$ ，满足

\dim R\ge\max\{\operatorname{rank}\rho,\operatorname{rank}\sigma\}.

固定 $\rho$ 在 $A\otimes R$ 上的任意一个纯化 $|\Psi\rangle$ ，则

f(\rho,\sigma) =\max_{\substack{|\Phi\rangle\in A\otimes R\\ \operatorname{Tr}_R|\Phi\rangle\langle\Phi|=\sigma}} |\langle\Psi|\Phi\rangle|.

因此 $F$ 等于右边重叠模平方的最大值。环境只需容纳两个状态各自的秩，可以比 $A$ 更小；定理也不要求状态可逆。固定一方纯化并不损失最优值，因为同一边缘态的所有纯化只差环境上的酉变换。

保真度满足 $0\le f\le1$ ，且关于两态对称。 $f=1$ 当且仅当 $\rho=\sigma$ ， $f=0$ 当且仅当两态的支撑正交。它衡量相似程度：相同状态取一，而非零，所以保真度本身不是距离。

直觉

纯态之间可以直接比较振幅重叠；混态却可能由许多不同的纯态系综表示。若先任意选择一个系综再逐项配对，结果会依赖表示。保真度从密度算子直接计算，因而比较的是状态本身。

纯化给出另一种理解：把局部缺失的信息放进环境后，两边都是纯态，重叠重新有了明确含义。但环境的标签和基选择没有由局部状态固定。Uhlmann 定理允许调整第二个环境表示，使两种联合描述尽量一致；这一最大重叠恰好就是矩阵平方根公式。这里调整的是可选的纯化表示，并没有宣称可以只靠一个未知混态恢复它过去真实经历过的环境。

若两个状态在同一基下对角化为 $\rho=\operatorname{diag}(p_i)$ 、 $\sigma=\operatorname{diag}(q_i)$ ，公式退化为

f(\rho,\sigma)=\sum_i\sqrt{p_iq_i}.

这时概率的平方根充当振幅。非对易时，没有同时对角化两态的基，两个矩阵平方根的乘法次序和奇异值便承担了这部分几何信息；单看某个基下的对角概率不足以完成比较。

例子与边界

完整计算一对非对易混态

令

\rho=\begin{pmatrix}3/4&0\\0&1/4\end{pmatrix}, \qquad H=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \qquad \sigma=H\rho H =\begin{pmatrix}1/2&1/4\\1/4&1/2\end{pmatrix}.

两态有相同的特征值，但特征方向不同；例如 $(\rho\sigma)_{12}=3/16$ 、 $(\sigma\rho)_{12}=1/16$ ，所以它们不对易。先求

\sqrt\rho=\begin{pmatrix}\sqrt3/2&0\\0&1/2\end{pmatrix}, \qquad C=\sqrt\rho\,\sigma\sqrt\rho =\begin{pmatrix}3/8&\sqrt3/16\\\sqrt3/16&1/8\end{pmatrix}.

矩阵 $C$ 的迹为 $1/2$ ，行列式为 $3/64-3/256=9/256$ 。对任意二阶半正定矩阵，若特征值为 $\lambda_1,\lambda_2$ ，便有

(\operatorname{Tr}\sqrt C)^2 =(\sqrt{\lambda_1}+\sqrt{\lambda_2})^2 =\operatorname{Tr}C+2\sqrt{\det C}.

于是本例无需写出特征向量就得到

F(\rho,\sigma)=\frac12+2\cdot\frac3{16}=\frac78, \qquad f(\rho,\sigma)=\frac{\sqrt{14}}4\approx0.935414.

还可以具体找出达到此重叠的纯化。固定约定

|\operatorname{vec}(A)\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}|i\rangle_A|j\rangle_R.

取 $|\Psi\rangle=|\operatorname{vec}(\sqrt\rho)\rangle$ ，初始的另一纯化取 $|\Phi_0\rangle=|\operatorname{vec}(\sqrt\sigma)\rangle$ 。因为

\sqrt\sigma=\frac14 \begin{pmatrix}\sqrt3+1&\sqrt3-1\\\sqrt3-1&\sqrt3+1\end{pmatrix}, \qquad M=\sqrt\rho\sqrt\sigma =\frac18\begin{pmatrix}3+\sqrt3&3-\sqrt3\\\sqrt3-1&\sqrt3+1\end{pmatrix},

这两个初始纯化的重叠仅为 $x=\operatorname{Tr}M=(2+\sqrt3)/4\approx0.933013$ ，尚未最优。再令

y=M_{12}-M_{21}=\frac{2-\sqrt3}4, \qquad x^2+y^2=\frac78=f^2, \qquad U=\frac1f\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}.

由 $x^2+y^2=f^2$ 可直接检验 $UU^\dagger=I$ 。改取 $|\Phi\rangle=|\operatorname{vec}(\sqrt\sigma U)\rangle$ ，其边缘态仍是 $\sqrt\sigma UU^\dagger\sqrt\sigma=\sigma$ ，而

\langle\Psi|\Phi\rangle =\operatorname{Tr}(MU) =\frac{x(M_{11}+M_{22})+y(M_{12}-M_{21})}{f} =\frac{x^2+y^2}{f}=f.

在上述向量化约定下，右乘 $U$ 对应环境上施加 $U^T$ ，即 $|\Phi\rangle=(I\otimes U^T)|\Phi_0\rangle$ 。这个转置来自系数指标的位置，不能把它随意省略。

纯态、任意纯化与零秩方向

若 $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$ ，则 $\sqrt\rho=\rho$ ，且 $\rho\sigma\rho=\langle\psi|\sigma|\psi\rangle\rho$ ，因此

F(|\psi\rangle\langle\psi|,\sigma) =\langle\psi|\sigma|\psi\rangle.

另一方面， $|\Phi^+\rangle=(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt2$ 与 $|\Phi^-\rangle=(|00\rangle-|11\rangle)/\sqrt2$ 都是 $I/2$ 的纯化，但彼此正交。局部状态相同给出 $f(I/2,I/2)=1$ ，而这一对纯化的重叠是零；定理中的最大化不可删除。也不能拿 $\operatorname{Tr}(\rho\sigma)$ 代替保真度：上一例它仅为 $1/2$ ，与 $F=7/8$ 不同；甚至对相同的 $I/2$ ，它也只有 $1/2$ 。

秩亏并不会让定义或定理失效。例如三维空间中的 $\rho=|0\rangle\langle0|$ 、 $\sigma=|1\rangle\langle1|$ 只需一维环境，保真度为零。下面的证明允许系数矩阵为矩形，并全程不对零特征值取逆，因此同时覆盖这一情形。

推论与应用

把纯化优化化为矩阵优化

设 $d=\dim A$ 、 $r=\dim R$ 。将固定纯化与任取的一个 $\sigma$ 纯化分别写为 $|\operatorname{vec}(A)\rangle$ 、 $|\operatorname{vec}(B)\rangle$ ，其中 $A,B$ 是 $d\times r$ 矩阵。向量化约定直接给出

AA^\dagger=\rho,\qquad BB^\dagger=\sigma, \qquad \langle\operatorname{vec}(A)|\operatorname{vec}(B)\rangle =\operatorname{Tr}(A^\dagger B).

纯化的环境酉自由度说明， $\sigma$ 的所有纯化恰好可写成 $|\operatorname{vec}(BU)\rangle$ ，其中 $U$ 遍历 $r\times r$ 酉矩阵。确切地说，环境酉算子 $W$ 给出右乘 $W^T$ ；转置仍使酉矩阵集合映到自身，故可用 $U=W^T$ 作为优化变量。因此待求最大值为

\max_{U\text{ 酉}}|\operatorname{Tr}(A^\dagger B U)|.

令 $T=A^\dagger B$ 。由奇异值分解写成 $T=L\Sigma V^\dagger$ 。对酉矩阵 $Q=V^\dagger UL$ ，每个对角元均满足 $|Q_{ii}|\le1$ ，所以

|\operatorname{Tr}(TU)| =|\operatorname{Tr}(\Sigma Q)| \le\sum_i s_i|Q_{ii}| \le\sum_i s_i=\|T\|_1.

取 $U=VL^\dagger$ 就使 $Q=I$ ，达到上界。这不仅证明最大值存在，还给出最优环境变换的构造；若有零奇异值，在相应子空间上选择任意正交补基即可。

矩形系数矩阵为何仍给出同一个保真度

还需证明 $\|A^\dagger B\|_1=\|\sqrt\rho\sqrt\sigma\|_1$ 。不能只将 $A,B$ 替换成方阵平方根，因为 $r$ 可能小于 $d$ 。先计算

TT^\dagger=A^\dagger BB^\dagger A=A^\dagger\sigma A.

取矩形矩阵 $X=\sqrt\sigma A$ ，则

X^\dagger X=A^\dagger\sigma A, \qquad XX^\dagger=\sqrt\sigma\rho\sqrt\sigma.

任意矩形 $X$ 的 $X^\dagger X$ 与 $XX^\dagger$ 具有相同的非零特征值及重数：若 $X^\dagger Xv=\lambda v$ 且 $\lambda>0$ ，则 $Xv\ne0$ 且 $XX^\dagger(Xv)=\lambda Xv$ ；反向映射用 $X^\dagger$ ，二者在该特征空间上复合为乘以 $\lambda$ 。零特征值数目可以不同，但不影响平方根特征值之和。

再对 $Y=\sqrt\rho\sqrt\sigma$ 使用同一事实， $Y^\dagger Y=\sqrt\sigma\rho\sqrt\sigma$ 与 $YY^\dagger=\sqrt\rho\sigma\sqrt\rho$ 的非零谱相同。因此

\|T\|_1 =\operatorname{Tr}\sqrt{TT^\dagger} =\operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt\sigma\rho\sqrt\sigma} =\operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt\rho\sigma\sqrt\rho} =f(\rho,\sigma).

结合上一段的酉优化，Uhlmann 定理得证。此处仅用正特征值空间之间的对应，没有假定 $\rho,\sigma$ 满秩，也没有要求 $r\ge d$ 。

定理同时解释了取值边界：纯化都是单位向量，故最大重叠至多一；若达到一，两纯化仅差整体相位，偏迹后两态必相同，反之可选相同纯化。 $f=0$ 等价于 $\sqrt\rho\sqrt\sigma=0$ ，即 $\sigma$ 的支撑包含在 $\rho$ 的核中，也就是两支撑正交。交换 $\rho,\sigma$ 则把该乘积换为其伴随，奇异值不变，所以保真度对称。

从重叠误差转到可区分误差

迹距离 $D(\rho,\sigma)=\tfrac12\|\rho-\sigma\|_1$ 衡量最优测量下的可区分性。两种量的标准关系为

1-f(\rho,\sigma)\le D(\rho,\sigma) \le\sqrt{1-f(\rho,\sigma)^2} =\sqrt{1-F(\rho,\sigma)}.

右侧可直接由本页证明：选择达到 Uhlmann 最大值的纯化，其纯态迹距离等于 $\sqrt{1-|\langle\Psi|\Phi\rangle|^2}=\sqrt{1-f^2}$ ；对环境取偏迹不会增加迹距离，于是得到混态上界。左侧是 Fuchs–van de Graaf 不等式的另一半，这里引用 Watrous 作者预出版稿 Theorem 3.33，不从上界反推它。

因此，对 $0\le\varepsilon,\delta\le1$ ，当构造或算法给出 $F\ge1-\varepsilon$ 时，立刻有 $D\le\sqrt\varepsilon$ ，任意测量事件的概率差也至多 $\sqrt\varepsilon$ 。反过来，若已知 $D\le\delta$ ，左侧给出 $f\ge1-\delta$ ，于是 $F\ge(1-\delta)^2$ 。两种误差参数有不同的平方关系，必须先确定使用的是 $f$ 还是 $F$ 。

对前面的非对易例子， $\rho-\sigma=\tfrac14\begin{pmatrix}1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}$ 的特征值为 $\pm\sqrt2/4$ ，故 $D=\sqrt2/4=\sqrt{1-7/8}$ ，恰好达到上界。自测时可从密度矩阵独立算出 $F=7/8$ ，再用给定的 $U$ 验证纯化重叠达到 $\sqrt{14}/4$ ；最后说明为何初始规范纯化虽合法，却没有自动达到这个最大值。

参考资料

John Watrous, The Theory of Quantum Information, 2018，作者预出版稿 Chapter 3，§3.2 Definition 3.11、Lemma 3.21、Theorem 3.22；Theorem 3.33；§3.5。依次给出根保真度、矩形因子恒等式、含秩条件的 Uhlmann 定理、迹距离不等式，以及根与平方约定的说明。本页采用所链接作者稿的编号。
Armin Uhlmann, “The ‘transition probability’ in the state space of a *-algebra”, Reports on Mathematical Physics 9(2), 273–279, 1976，作者提供的原论文扫描，§2 式 (4)，§5 式 (23)。原文以平方重叠定义转移概率，并给出密度算子的平方公式；本页有限维、固定一方纯化的表述依据上面的 Watrous 作者稿。

形式陈述 ​

完整计算一对非对易混态 ​

纯态、任意纯化与零秩方向 ​

把纯化优化化为矩阵优化 ​

矩形系数矩阵为何仍给出同一个保真度 ​

从重叠误差转到可区分误差 ​

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