量子态纯化

混态描述一个观察者手上的信息。纯化把这种局部不纯表示成与辅助系统的关联：总体可以有完整的相干描述，局部观察者却看不到被偏迹消去的信息。

这不是把同一个系统上的混态重新命名为纯态。状态所属空间已经从 $A$ 扩大到 $A\otimes R$，而在 $A$ 上的所有预测保持原样。它也不认定 $R$ 就是实验过去真实接触过的环境；同一个局部状态有许多可用的纯化，实际历史需要另给证据。

纯化的自由度恰好位于辅助系统。一方如果只能操作 $A$，就无法根据本地统计区分这些纯化；如果后来可以联合访问 $A,R$，两种联合态一般可以区分。

非均匀混态的纯扩展 ​

考虑

一个纯化是

展开 $|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|$ 后，对角项系数是 $3/4$ 与 $1/4$，交叉项系数是 $\sqrt{3}/4$。偏迹对 $|00⟩⟨11|$ 给出 $|0⟩⟨1|⟨1|0⟩=0$，另一个交叉项也消失，因此恰好恢复 ${\rho }_A$。系数用的是概率的平方根；若直接用 $3/4,1/4$ 作振幅，归一化和边缘概率都会改变。

对 $R$ 施加 Hadamard 算子，得到另一个纯化

由于 $⟨+|-⟩=0$，相同的偏迹计算仍给出 ${\rho }_A$。两者在 $A$ 上完全相同，但并不是相同的联合态。

有经典标签的扩展不一定纯 ​

联合状态

也有边缘态 ${\rho }_A$，但 $\mathrm{Tr}{\omega }_{AR}^2=9/16+1/16=5/8<1$，所以它不是纯化。它记录了一个经典混合标签，却没有纯化中的交叉项。因而“写出一个纯态系综”“附上经典标签”和“给出纯化”是三个不同动作。

纯化定理是表示与存在性结论，不是一种仅操作未知输入 $A$ 就能恢复过去信息的通用装置。例如若某个固定线性装置保持所有输入在 $A$ 上的边缘态，并把每种输入扩成纯态，它对 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的输出必须不同；但对两者等概率混合，线性性要求输出为这两个不同纯态的混合，不能仍是纯态。这排除了“对任意未知混态自动制造其纯化”的解释。

构造与最小维数 ​

由谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。，只保留正特征值可写成

当 $\dim R\ge r$ 时，选 $R$ 中 $r$ 个正交单位向量 $|j⟩$，定义

其范数平方为 $\sum _j{\lambda }_j=1$。取偏迹时，$j,k$ 交叉项乘上 $⟨k|j⟩={\delta }_{jk}$，只留下原来的谱分解，证明存在性。

反过来，把任意纯化写为 $|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _{i,j}{C}_{ij}|i{⟩}_A|j{⟩}_R$，逐项偏迹得到 ${\rho }_A=C{C}^{†}$。于是

证明辅助维数下界。原态纯时 $r=1$，无需非平凡环境；秩越高，纯化所需的正交环境标签就越多。

两个纯化为何只差环境酉变换 ​

固定上面的 ${\rho }_A$ 谱基。对任意纯化 $|\mathrm{\Psi }⟩$，定义

约化态为 ${\rho }_A$ 保证 $⟨r_k|r_j⟩={\delta }_{kj}$，且 $|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _j\sqrt{{\lambda }_j}|u_j⟩|r_j⟩$；零特征空间没有分量。另一个纯化同理给出一组正交向量 $|s_j⟩$。令 $U_R|r_j⟩=|s_j⟩$，再将两组正交向量各补成 $R$ 的正交基，就能延拓为整个 $R$ 上的酉算子。即使特征值简并，固定同一谱基后此论证仍成立。

Kraus 表示公理库Kraus 表示Kraus representation · Operator-sum representation · 算子和表示有限维线性映射完全正当且仅当它能写成 Kraus 算子和，保持迹则等价于这些算子的完备性恒等式。用等距嵌入把量子操作的分支相干地存入环境；当输入为纯态时，保留环境便得到输出混态的一种纯化。量子查询模型公理库量子查询模型Quantum query model · Quantum black-box model将输入封装为可在叠加索引上相干调用的 oracle，并只计输入相关调用次数的有限维量子黑盒模型。中的延迟测量也利用辅助工作空间保留分支，但还需要相干实现后续受控操作，不能从纯化的存在性直接推断自己知道了测量结果。

当两个边缘态不同时，还可以固定一方纯化，再利用另一方的环境酉自由度寻找最大重叠。量子态保真度与 Uhlmann 定理公理库量子态保真度与最优纯化重叠Quantum fidelity · Uhlmann fidelity · 量子态忠实度 · Uhlmann 定理用根保真度比较混态，并通过环境酉优化证明它恰好等于固定一方纯化后的最大重叠，完整计算一对非对易混态。把这个最优值化成密度矩阵平方根的迹范数；它比较的是最优配对后的纯化，相同边缘态的任意两个纯化仍可能正交。

自测：给 $\mathrm{diag}(1/2,1/3,1/6)$ 构造一个纯化。可取 $\sqrt{1/2}|00⟩+\sqrt{1/3}|11⟩+\sqrt{1/6}|22⟩$；三个正特征值说明二维辅助系统不够。进一步比较不同纯化的局部与联合可区分性，可使用迹距离公理库迹距离Trace distance · Quantum trace distance迹距离是两个密度算子之差的迹范数的一半，恰好刻画单份量子态在最优测量下的可区分程度。。