迹距离

迹距离问的是：“允许选择任何测量时，两个状态在某个结果上的概率最多能差多少？”因此它比较完整量子状态，而不是某个预先选定测量的输出。

$D=0$ 时所有测量统计相同，等先验下只能猜中一半；$D=1$ 时存在无误差的单次判别，成功率为一。中间值把状态几何变成一个具体实验的成功率。这里的成功率超过随机猜测的部分是 $D/2$，而不是 $D$；若把优势定义为 $2p_{\mathrm{succ}}-1$，才恰好等于 $D$。

对于同一基下的对角态 $\rho =\mathrm{diag}(p_i)$、$\sigma =\mathrm{diag}(q_i)$，

正好是经典分布的总变差距离公理库总变差距离Total variation distance · TV distance两个概率分布对最优可测事件所赋概率之差的最大值。。非对角项存在时，最佳测量可能需要换基，不能只比较当前对角元。

区分 $|0⟩$ 与 $|+⟩$ ​

令 $\rho =|0⟩⟨0|$、$\sigma =|+⟩⟨+|$，则

它的特征值为 $\pm 1/\sqrt{2}$，所以 $D=1/\sqrt{2}$，最优成功率约为 $0.853553$。正特征向量可取

把该向量代入矩阵，可得 $(\rho -\sigma )|v_{+}⟩=|v_{+}⟩/\sqrt{2}$。测量 $\{|v_{+}⟩⟨v_{+}|,I-|v_{+}⟩⟨v_{+}|\}$，第一种结果猜 $\rho$，第二种猜 $\sigma$，便达到最优值。

若只测计算基，得到 $0$ 时猜 $\rho$、得到 $1$ 时猜 $\sigma$，成功率为 $\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=3/4$。这低于最优值，说明把测量固定下来会损失可用于判别的信息。

相同对角元可以掩盖完全可区分的态 ​

$|+⟩$ 与 $|-⟩$ 正交，迹距离是 $1$，但两者的计算基分布都是 $(1/2,1/2)$。经过完全去相位信道后，两态都成为 $I/2$，距离降为 $0$。这是噪声真正丢失信息的例子，而不是对矩阵换了一个写法。

另一边，$\mathrm{diag}(3/4,1/4)$ 与 $\mathrm{diag}(1/4,3/4)$ 的距离是 $1/2$，最优等先验成功率为 $3/4$。这次计算基测量已经最优，因为全部差异都在同一个对角基上。

迹距离比较的是给定系统上的态。若额外持有辅助系统，应比较联合态；仅知道两个边缘态相同，不能推出联合态相同。比较未知信道本身则需要另外定义输入与辅助系统上的优化，不能用某一对输出态的距离替代。

从谱分解得到最佳测量 ​

令 $A=\rho -\sigma$。由谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。，可把正、负特征值分开写成 $A=A_{+}-A_{-}$，其中 $A_{\pm }⪰0$ 且支撑正交。因为 $\mathrm{Tr}A=0$，

对任意效应 $E$，$0\le \mathrm{Tr}(E{A}_{\pm })\le D$，从而 $|\mathrm{Tr}(EA)|\le D$。取 $E$ 为正特征空间上的投影就达到 $D$。等先验判别的成功率为

最大化即得公式。对任意 POVM，令 $S$ 是输出概率在 $\rho$ 下更大的结果集合，$E_S=\sum _{a\in S}{E}_a$ 仍是效应，故输出分布的总变差至多 $D$；上述二结果测量取得等号。这解释了量子距离与最佳经典读出之间的确切关系。

信道收缩 ​

对任意量子信道公理库量子信道Quantum channel · CPTP map · Completely positive trace-preserving map量子信道是完全正且保持迹的线性映射，描述包含噪声、测量结果遗忘和子系统丢弃的确定性量子状态变换。 $\mathrm{\Phi }$，

证明只需正性和保持迹。沿用 $A=A_{+}-A_{-}$，由于 $\mathrm{\Phi }(A_{\pm })⪰0$，其迹范数等于迹，于是由范数的三角不等式，

因此完全正性保证操作在纠缠辅助系统上合法，而本条 Hermitian 输入的收缩不等式本身已经由正性与 TP 推出。酉变换前后距离不变：先用收缩得一个方向，再对逆酉变换应用收缩得到反向不等式。偏迹则可能严格缩小距离，因为部分信息只存在于被丢弃系统或关联中。

纯态公式与算法下界 ​

两个纯态满足

令 $\alpha =|⟨\psi |\varphi ⟩|$。若 $\alpha =1$，两态仅相差整体相位，两个投影相同，距离为零，公式立即成立。以下设 $\alpha <1$；去掉无关整体相位后，在二者张成的二维空间中选取与 $\psi$ 正交的单位向量 $u$，可写成 $|\varphi ⟩=\alpha |\psi ⟩+\sqrt{1-{\alpha }^2}|u⟩$。两投影之差在此二维空间迹为零、行列式为 $-(1-{\alpha }^2)$，故非零特征值为 $\pm \sqrt{1-{\alpha }^2}$；其余空间上为零，立即得到公式。

对混态，量子态保真度公理库量子态保真度与最优纯化重叠Quantum fidelity · Uhlmann fidelity · 量子态忠实度 · Uhlmann 定理用根保真度比较混态，并通过环境酉优化证明它恰好等于固定一方纯化后的最大重叠，完整计算一对非对易混态。通过最优纯化重叠连接这一纯态公式：若根保真度为 $f$、平方保真度为 $F=f^2$，则 $1-f\le D\le \sqrt{1-F}$。右侧来自达到最大重叠的纯化及偏迹收缩；因此 $F\ge 1-\epsilon$ 可保证所有测量事件的概率差至多 $\sqrt{\epsilon }$。

在量子查询模型公理库量子查询模型Quantum query model · Quantum black-box model将输入封装为可在叠加索引上相干调用的 oracle，并只计输入相关调用次数的有限维量子黑盒模型。中，共同的输入无关酉步骤保持迹距离；若算法必须区分答案相反的两种输入且各自错误率至多 $\epsilon$，最终输出分布的距离至少为 $1-2\epsilon$，因此最终量子态也必须至少相距这么多。量子通信协议公理库量子通信复杂度Quantum communication complexity允许双方交换量子寄存器并选择是否预共享纠缠，以 qubit 数、经典 bit 数和错误概率共同衡量协议。中同样可以追踪接收方能够访问的状态，判断已传消息是否产生足够区分信息。