容错综合提取

单辅助反复接触四个数据位，会把一次辅助错误传播成多处数据错误。cat态把同一个校验的控制量分散到四条辅助线，每条只碰一个数据位置。

但cat态自己的制备也可能产生相关错误，所以必须在接触数据之前验证。验证主要防止危险的比特型传播；相位错仍可能翻转综合读数，因此还要重复整份综合，而不能把“验证cat”和“综合一定正确”混为一件事。

图中验证线只在 $a_1,a_4$ 上有控制点，中途跨过 $a_2,a_3$ 的线不表示连接。通过验证以后，才让每条cat线与一个数据位置耦合。

四位cat测量的理想作用 ​

准备

对 $j=1,2,3,4$ 各施一次 controlled-$Z$，辅助 $a_j$ 控制数据 $d_j$。由Clifford门公理库Clifford 群Clifford group · Pauli normalizer以Pauli正规化子刻画Clifford门，逐项追踪H、S、CNOT的共轭与相位，并用T门说明有限可模拟结构和通用量子门之间的边界。组成的这层耦合把状态变成

分别测量四个辅助的 $X$。若四个本征值的乘积为 $s=\pm 1$，数据条件更新正比于 $(I+sP)|\psi ⟩$。把同一奇偶的八种详细结果合并，就得到 $P$ 的Lüders投影；详细辅助结果不额外揭示逻辑信息。

在这个耦合中，$X_{a_j}$ 可传播出 $Z_{d_j}$，但每条辅助只接触一个数据位置，所以单辅助错不再直接扩散到多位。辅助的 $Z$ 错只会翻转某个 $X$ 读数，须由后面的重复处理。

指定制备电路，才谈得上指定验证 ​

准备四个 $|0⟩$，依次施

这是链式制备，不是从第一位向其余三位的扇出。随后用验证辅助 $v$ 的 $|0⟩$，施 CNOT $a_1\to v$、$a_4\to v$，测 $Z_v$；仅在结果0时接受。它测的是 $Z_{a_1}{Z}_{a_4}$，不测量cat本身究竟是全0还是全1。

为什么这一条首尾检查够处理链式制备的单故障？把任意Pauli故障的 $X$ 支撑沿剩余CNOT传播。模cat稳定子 $X_1{X}_2{X}_3{X}_4$，链中一个位置能产生的不可忽略多位模式只有

两者都与首尾检查反对易，必被拒绝。其余模式等效为零或单个 $X$。例如第二个CNOT之后目标上的 $X_3$ 会传播成 $X_3{X}_4$，正是需要排除的危险情况。

如果唯一故障发生在验证部分，cat制备本来正确；验证CNOT最多给一个cat控制位添加 $X$，验证目标上的 $Z$ 虽可能回传多个cat相位错，却不会生成多个cat比特翻转。任意多个 $Z$ 在理想cat上也只按奇偶等效为零或一处相位错。

接受的cat因此至多带一个可向数据传播的位置错误，允许再有综合翻转。与四位 $X$ 相差的cat模式在数据上相差所测稳定子 $P$，在测量分支中作用相同到相位，所以这里的“至多一处”按正确的稳定子等价类理解。

这份验证只对上述制备顺序及故障模型作了分析。改成别的cat接线后，危险错误对可能变化，不能机械沿用同一首尾检查。

为什么只测一次完整综合仍会失败 ​

一个数据—cat门故障可以同时在数据制造 $Y_j$、在cat制造相位错，于是一边改变实际综合，一边翻转报告位。对假综合立即执行恢复，可能再添加另一个位置错误，最终从一个故障得到两位数据错。

另一种问题不需要错误读数：数据错误若在六项检查中间出现，前几位描述旧状态，后几位描述新状态，拼成一份从未真实存在的混合综合。逐项把每一位多数投票，并不能排除这种时间混合。

一个有固定最坏次数的一故障规则 ​

对七qubit码依次测完六条检查，算一轮；固定执行四轮，记录完整六位综合 $s^{(1)},\dots ,s^{(4)}$，中间不恢复。每条检查使用新验证cat。

cat验证失败时，在接触数据之前丢弃并重新制备；每条检查最多安排两次制备尝试。两次都失败就标记模块失败。在总共至多一个故障的承诺下，第二次尝试必无故障而通过，所以这一限制不会破坏一故障保证。等待和预留时隙仍计入模块位置。

四轮结束后，选最早一对相邻且完全相同的综合，并按它恢复。若没有这样的相邻对，标记模块失败；该分支在一故障承诺下不会出现。因为至多一轮受故障直接扰动，四轮中要么故障前有两轮连续正确综合，要么故障后有两轮连续正确综合。

恢复表必须覆盖全部六位综合，而不仅是21种单Pauli错误。对CSS码可分别依据两半综合选择 $X_i$ 与 $Z_j$，零综合对应不操作；不同半指向不同位置时允许选一个两位置代表。这使任意综合都能被映回码空间，虽然对任意多错输入并不保证原逻辑态。

两项一故障保证怎样成立 ​

若输入至多一错且模块无故障，四轮综合相同并准确，查表恢复除去这个错误。若输入无错而模块有一个故障，一对相同综合中至少一轮无故障，所以所选综合曾经真实出现过。它可能是故障前的零综合，也可能是故障后的真实综合。

选择故障后综合时，查表移除那一个等效数据错误；选择故障前综合时，后来的故障最多留下一个错误。若唯一故障在最后恢复或等待位置，先前过程正确，故输出同样至多一错。因而不会因错误综合再叠加一个不相关恢复错误。

对任意输入，理想稳定子测量可先按综合分支分析。所选真实综合的恢复把该时刻的状态送入码空间；选择时刻之后至多一个等效数据错误，最终就距某个码态至多一错。这是模块恢复性质的机制，不等于声称任意输入都能恢复其最初逻辑信息。

该模块的工作量是固定轮数乘检查数，再乘每条检查的cat制备、验证和耦合成本：重量为 $w$ 的cat方案每次需 $O(w)$ 个基本门和辅助位，此处检查数6、轮数4、$w=4$。把整个纠错模块嵌入阈值证明公理库级联量子码与阈值定理Concatenated quantum code · Quantum accuracy threshold theorem先解独立分块的二次误差递推，再用共享纠错区的反向截断和层级化归约解释真实阈值证明，并给出深度、总失败率与开销预算。时，还要对等待、失败标志和共享纠错区块统一计数，不能只统计与数据接触的四个门。