稳定子码 | Codeboy's Blog

形式陈述

稳定子码把逻辑状态放进若干 Pauli 可观测量的共同 $+1$ 本征空间。设 $g_1,\ldots,g_r\in\mathcal P_n$ 是两两对易的 Hermitian Pauli 算子，在忽略标量相位的二进制表示中线性独立，并要求生成的群 $S=\langle g_1,\ldots,g_r\rangle$ 不含 $-I$ 。码空间为

\mathcal C=\{|\psi\rangle:g_j|\psi\rangle=|\psi\rangle\text{ 对所有 }j\}, \qquad \Pi_{\mathcal C}=\prod_{j=1}^r\frac{I+g_j}{2} =\frac1{2^r}\sum_{g\in S}g.

它的维数是 $2^{n-r}$ ，可编码 $n-r$ 个逻辑 qubit。这里“稳定”指每个 $g\in S$ 在码空间上逐向量恒等作用，不是说任意物理噪声都会被消除。

维数公式来自正交投影而非形式上的约束计数。每个 $g_j$ 满足 $g_j^\dagger=g_j$ 、 $g_j^2=I$ ，所以 $(I+g_j)/2$ 是其 $+1$ 本征空间投影；各因子对易，其乘积仍自伴且幂等，像空间正是交集。独立性使展开的 $2^r$ 个群元素互不相同；群中唯一的标量元素是 $I$ ，其他元素都是迹为零的 Pauli 字符串。因此

\dim\mathcal C=\operatorname{Tr}\Pi_{\mathcal C} =2^{-r}\operatorname{Tr}I=2^{n-r}.

同一生成元列两遍不会多减一个维数；把 $g$ 与 $-g$ 同时列入则产生 $-I\in S$ ，共同 $+1$ 空间为零。这两种情形都不能套用上述独立生成元公式。

直觉

纠错需要知道错误发生在哪个子空间，却不能读出逻辑振幅。对易的校验算子把物理空间分成不同的共同本征空间，测量只返回本征值标签，称为综合（syndrome）。同一标签所对应的整个子空间仍可容纳叠加；只要装置没有继续区分其中的逻辑基，逻辑相干就能保留下来。

以三个数据 qubit 为例， $ZZI$ 检验前两位是否相同， $IZZ$ 检验后两位是否相同。辅助 qubit 接收这两个奇偶性，而不是分别读取三个数据位。下面的电路测量两根辅助线，三根数据线都继续进入条件恢复。

两个零态辅助 qubit 分别接收相邻数据位的奇偶性，测量辅助线得到综合 s1、s2，再按四种标签恢复数据；数据位本身不被测量。

图中从上到下的张量顺序为 $D_1,D_2,D_3,A_1,A_2$ ，实心点与圆圈加号分别是 CNOT 的控制和目标， $M_Z$ 是辅助 qubit 的计算基测量。蓝色双线表示已经读出的经典综合；右侧 $E_s$ 是对三个数据 qubit 的条件操作。

例子与边界

三比特重复编码与四个错误空间

取 $g_1=ZZI$ 、 $g_2=IZZ$ ，则

S=\{III,ZZI,IZZ,ZIZ\},\qquad \Pi_{\mathcal C}=\frac{III+ZZI+IZZ+ZIZ}{4},\qquad \mathcal C=\operatorname{span}\{|000\rangle,|111\rangle\}.

从 $(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\otimes|00\rangle$ 出发，先做 $\operatorname{CNOT}_{1\to2}$ 、再做 $\operatorname{CNOT}_{1\to3}$ ，即得到编码态

|\psi_L\rangle=\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle, \qquad |\alpha|^2+|\beta|^2=1.

振幅允许为任意复数。定义综合位 $s_j=0$ 对应 $g_j$ 本征值 $+1$ ， $s_j=1$ 对应 $-1$ ；两位顺序始终是 $s_1s_2$ 。

错误 $E$	错误后的向量	$(g_1,g_2)$ 本征值	综合 $s$	恢复 $E_s$
$I$	$\alpha\lvert000\rangle+\beta\lvert111\rangle$	$(+1,+1)$	$00$	$I$
$X_1$	$\alpha\lvert100\rangle+\beta\lvert011\rangle$	$(-1,+1)$	$10$	$X_1$
$X_2$	$\alpha\lvert010\rangle+\beta\lvert101\rangle$	$(-1,-1)$	$11$	$X_2$
$X_3$	$\alpha\lvert001\rangle+\beta\lvert110\rangle$	$(+1,-1)$	$01$	$X_3$

这张表也可直接由对易关系推出：若 $g_jE=(-1)^{s_j(E)}Eg_j$ ，则 $g_jE|\psi_L\rangle=(-1)^{s_j(E)}E|\psi_L\rangle$ 。所以标签由错误决定，与 $\alpha,\beta$ 无关。它和经典综合译码使用校验矩阵两行 $110,011$ 的计算相同，但量子恢复还必须保留每行中的复振幅关系。

辅助电路确实实现 Lüders 更新

对任意计算基数据 $|b_1b_2b_3\rangle$ ，依次将 $D_1,D_2$ 作为控制作用于 $A_1$ ，将 $D_2,D_3$ 作为控制作用于 $A_2$ 。两个辅助 qubit 初态为 $|00\rangle$ ，电路酉算子 $V$ 满足

V|b_1b_2b_3\rangle|00\rangle =|b_1b_2b_3\rangle |b_1\oplus b_2,\ b_2\oplus b_3\rangle.

由线性性，对任意数据向量 $|\phi\rangle$ 都有

V(|\phi\rangle\otimes|00\rangle) =\sum_{s\in\{0,1\}^2}\Pi_s|\phi\rangle\otimes|s\rangle, \qquad \Pi_s=\frac14(I+(-1)^{s_1}g_1)(I+(-1)^{s_2}g_2).

因此测辅助线的结果 $s$ 在数据上的操作算子正是 $\langle s|V|00\rangle=\Pi_s$ ，不仅概率效应等于 $\Pi_s$ 。这是 Lüders 仪器：分支为 $\rho\mapsto\Pi_s\rho\Pi_s$ ，概率 $p_s=\operatorname{Tr}(\Pi_s\rho)$ ，非零概率下条件态为该分支除以 $p_s$ 。四个投影两两正交、和为 $I_8$ ，各秩为 $2$ 。同一综合中的两个基向量附着同一辅助标签，故没有被相互区分；若改为逐个测数据位再计算奇偶性，就会额外破坏所需相干。

恢复的适用边界

两位翻转 $X_1X_2$ 的综合是 $01$ ，与 $X_3$ 相同；按表校正后得到 $X_1X_2X_3$ ，交换 $|000\rangle$ 与 $|111\rangle$ ，即逻辑比特翻转。综合确定的是错误空间，不会唯一识别所有重量的错误。

编码也没有克隆未知态。输入 $|+\rangle$ 被编码为 $(|000\rangle+|111\rangle)/\sqrt2$ ，而三份独立副本 $|+\rangle^{\otimes3}$ 含有八个计算基项。冗余存于联合态，不能把每根数据线都当成原态的完整副本。

推论与应用

从条件恢复到完整信道

以表中的 $E_s$ 定义 $F_s=E_s\Pi_s$ 。因为每个 $E_s$ 酉，

\sum_sF_s^\dagger F_s=\sum_s\Pi_s=I_8,\qquad \mathcal R(\rho)=\sum_sF_s\rho F_s^\dagger

是定义在整个三 qubit 空间上的迹保持量子信道。它包含全部测量结果后的反馈，不丢弃失败标签，也无需事先知道逻辑态。对于表中任一 $E_t$ ，正交错误空间给出

\Pi_sE_t\Pi_{\mathcal C}=\delta_{st}E_t\Pi_{\mathcal C},\qquad F_sE_t\Pi_{\mathcal C}=\delta_{st}\Pi_{\mathcal C}.

后一式同时说明每一行的未知逻辑向量都被恢复，并为相干误差提供了更强的结论。

相干翻转与一般 Kraus 张成空间

考虑真正作用于整个物理空间的酉误差

U=\frac{I+iX_1}{\sqrt2},\qquad U^\dagger U=\frac{(I-iX_1)(I+iX_1)}2=I.

它把编码态变成 $(|\psi_L\rangle+iX_1|\psi_L\rangle)/\sqrt2$ ，这是两个错误分量的相干叠加。测综合只产生 $00$ 与 $10$ ，各概率 $1/2$ ；恢复后的未归一化向量分别为 $|\psi_L\rangle/\sqrt2$ 与 $i|\psi_L\rangle/\sqrt2$ ，平均输出恰为原来的密度算子。这个过程去除了错误标签间的相干，同时保留了每个逻辑态内部的相干。

更一般地，设物理噪声为任意 CPTP 映射 $\mathcal N(\rho)=\sum_aK_a\rho K_a^\dagger$ ，且每个 Kraus 算子都在 $\{I,X_1,X_2,X_3\}$ 的线性张成空间中。用综合索引写成 $K_a=\sum_t c_{at}E_t$ ，上式立即给出

F_sK_a\Pi_{\mathcal C}=c_{as}\Pi_{\mathcal C}.

还需检查恢复求和的系数确为 $1$ 。四个 $E_t\mathcal C$ 两两正交，所以对任意归一化码向量， $\|K_a|\psi_L\rangle\|^2=\sum_t|c_{at}|^2$ ；噪声迹保持遂要求 $\sum_{a,t}|c_{at}|^2=1$ 。对任意码支持密度算子 $\rho=\Pi_{\mathcal C}\rho\Pi_{\mathcal C}$ ，于是

(\mathcal R\circ\mathcal N)(\rho) =\sum_{a,s}|c_{as}|^2\rho=\rho.

这包括概率混合与允许的相干组合，但任意形式的线性组合不自动成为物理信道：给出的 Kraus 算子仍须满足全空间上的 $\sum_aK_a^\dagger K_a=I$ 。本页的 $U$ 已显式满足这一要求。

证明还保留了与不可访问参考系统 $R$ 的纠缠。对于支持在 $\mathcal C\otimes\mathcal H_R$ 的任意联合态 $\rho_{DR}$ ，每个恢复分支在该空间上是 $c_{as}I_{\mathcal C}\otimes I_R$ ，故同一求和给出

((\mathcal R\circ\mathcal N)\otimes\operatorname{id}_R)(\rho_{DR})=\rho_{DR}.

因此恢复的是完整逻辑量子信息，而不只是计算基概率。这里假设编码、辅助初始化、综合测量和反馈门理想；将这些步骤本身的故障纳入模型，属于进一步的容错问题。

Knill–Laflamme双向证明将这个例子提升为一般有限维判据，并以 $I$ 与 $Z_1Z_2$ 在码上相同的退化误差展示非对角重叠矩阵；恢复无需区分全部原始Kraus标签。

参考资料

Daniel Gottesman，Stabilizer Codes and Quantum Error Correction，arXiv:quant-ph/9705052，v1，1997-05-28，§3.2，印刷页 18–20；稳定子、码空间和综合。
John Preskill，Quantum Information, Chapter 7，2026 年 3 月更新，§7.1，页 2–3（联合奇偶测量）；§7.10.1，页 27–29（生成元与维数）；§7.17，页 49，式 (7.213)（重复码生成元）。
Daniel Gottesman，Quantum Error Correction and Fault-Tolerance，arXiv:quant-ph/0507174，v1，2005-07-18，§§1–2，页 1–3；错误线性空间、Kraus 表示及纠错条件。本文的四综合表、辅助电路分支算子及恢复等式按所列寄存器与相位约定直接计算。

形式陈述 ​

三比特重复编码与四个错误空间 ​

辅助电路确实实现 Lüders 更新 ​

恢复的适用边界 ​

从条件恢复到完整信道 ​

相干翻转与一般 Kraus 张成空间 ​