线性系统的可观测性

仅看一张位置照片，无法知道初速度；看一段准确的位置轨迹则可以。可观测性比较的是两个初态在同一已知输入下能否产生完全相同的输出。输入的贡献可以计算并扣除，因此判断初态是否可辨只依赖 $A,C$，不依赖本次实际输入有多丰富。

这里 $A,B,C$ 都已给定，所求的是初始状态。状态空间时间序列模型公理库状态空间时间序列模型State-space time-series model · State space model · 状态空间模型用隐藏状态的 Markov 演化与给定状态的观测分布分解时间依赖的序列模型。还要描述随机状态与观测误差，未知参数的统计识别与状态的后验不确定性则需要进一步考察观测分布。

从不可辨方向到重建公式 ​

由常数变易公式，扣掉已知输入贡献后得到

两初态相差 $v$ 时，校正输出之差为 $C{e}^{At}v$，且

零积分由连续性等价于输出差恒为零。对恒等式在零点求导，得到 $C{A}^{k}v=0$，故 $v\in \ker \mathcal{O}$。反向使用Cayley–Hamilton 定理公理库Cayley–Hamilton 定理Cayley–Hamilton theorem每个有限维线性算子都满足自己的特征多项式。：前 $n$ 项为零推出全部高次项为零，再代入指数级数。因此

只要这个核非零，$x_0$ 与 $x_0+v$ 就无法区分；核为零则初态唯一，证明了秩、正定与可观测性等价。满秩时还有具体重建式：将 $z(t)=C{e}^{At}{x}_0$ 左乘 $e^{A^{\mathsf{T}}t}{C}^{\mathsf{T}}$ 并积分，得到

同一运动，两个传感器 ​

令 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，正常传感器 $C=(10)$ 测位置。则

校正输出 $z(t)=a+bt$ 的截距和斜率分别为初始位置与速度。在 $T=1$ 时，若测得 $z(t)=2-t$，则

相乘确得 $x_0=(2,-1{)}^{\mathsf{T}}$。

若改测速度，$C=(01)$，则 $CA=0$、$W_o(T)=\mathrm{diag}(0,T)$，不可观空间为 $\mathrm{span}(e_1)$。任意初始位置差都不改变速度输出。保留执行器 $B=e_2$ 时系统仍然可控，说明可控不推出可观；反过来取 $B=e_1,C=(10)$，系统可观却不可控。

重建公式要求准确、连续时间的输出轨迹。噪声或模型误差会传入重建结果，即使 Gramian 正定，接近奇异也会放大这些误差。有限采样下须按采样后的模型重新判断可观测性，再用相应的离散重建或估计方法。

$(A,C)$ 可观等价于转置输入对 $(A^{\mathsf{T}},C^{\mathsf{T}})$ 可控公理库线性系统的可控性Controllability of a linear system · Kalman 可控性秩判据用可控矩阵与有限时域 Gramian 判断输入能否到达任意状态，并构造最小能量输入。：二者的秩矩阵互为转置。这是输入与输出角色交换的代数对偶，不表示实际执行器和传感器可以互换。

Kalman 滤波器公理库Kalman 滤波器Kalman filter · 卡尔曼滤波器在线性高斯状态空间模型中递推计算状态预测与过滤分布均值、协方差及似然的算法。处理带噪声状态的条件估计；可观测性提供“哪些初态差能进入数据”的结构问题。LQR公理库连续时间线性二次调节器Continuous-time linear quadratic regulator · LQR · 线性二次调节器在可稳定与代价可检测条件下，通过稳定 Riccati 解求无限时域二次代价的最优状态反馈。使用的可检测性则允许不可观方向存在，只要求它们自身稳定；那里观察矩阵来自状态代价，未必是物理传感器 $C$。