连续时间线性二次调节器

极点配置先指定衰减模式，LQR 则先指定偏差与用力的价格。$Q$ 惩罚哪些状态方向，$R$ 决定各输入通道的成本；最优反馈由这两种价格和动力学共同决定。稳定只是行为约束之一，不能单凭“极点更负”判断代价更低。

代价中 $x^{\mathsf{T}}Qx=\Vert Q^{1/2}x{\Vert }^2$，因此 $Q^{1/2}$ 像一个评估性能的输出矩阵，通常与实际传感器 $C$ 不同。可检测性要求：在整个演化过程中始终不进入代价观测的模态，必须自身稳定。它排除的是不可观的不稳定模态，而一个瞬时落在 $\ker Q$ 中的方向，仍可能经动力学进入受惩罚的坐标。

例如双积分器 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ 若只惩罚位置，即 $Q=\mathrm{diag}(1,0)$，虽有 $Q{e}_2=0$，却有 $Q^{1/2}{e}^{At}{e}_2=(t,0{)}^{\mathsf{T}}$。初速度随后变成位置偏差，因而能被代价观测；堆叠 $Q^{1/2}$ 与 $Q^{1/2}A$ 得到的观测矩阵仍有秩二。这个方向无需自行衰减，可检测性也照样成立。

固定初态后，状态是输入的仿射函数，非负二次积分体现凸优化公理库凸优化问题Convex optimization problem在凸可行域上最小化凸目标且不等式约束为凸函数的优化模型。结构，优化变量则是一整条输入函数。沿轨道配平方，可以直接建立适用于这些输入的最优性证书。

配平方与终端项的极限 ​

设已经找到对称半正定 $P$ 满足 Riccati 方程，且对应闭环稳定。令 $V(x)=x^{\mathsf{T}}Px$、$K=R^{-1}{B}^{\mathsf{T}}P$，沿任一轨道几乎处处有

所以在有限 $T$ 上，

要用这个恒等式比较无穷时域代价，关键是证明 $V(x(T))\to 0$。若 $Q\succ 0$，任一有限代价输入满足 $x,u\in L^2(0,\mathrm{\infty })$，故 $x^{\prime }=Ax+Bu\in L^2$。绝对连续性与 Cauchy–Schwarz 不等式给出

所以 $x$ 一致连续。若 $x(t)$ 不趋零，就能找到趋向无穷的一列时刻，范数均至少为某个 $\epsilon >0$；一致连续性使每个时刻附近一个固定宽度区间内范数至少为 $\epsilon /2$。抽取互不相交的区间会使 $\int \Vert x{\Vert }^2$ 发散，矛盾。因此 $x(t)\to 0$，从而 $V(x(T))\to 0$。

取极限即得 $J\ge V(x_0)$，无限代价输入也满足此下界。反馈 $u=-Kx$ 的闭环稳定，状态、输入指数衰减，平方项恒零，于是达到 $J=V(x_0)$。这证明了正定 $Q$ 的验证结论。对一般半正定 $Q$，有限代价只直接控制 $Q^{1/2}x$，终端极限还要利用可检测性；这部分由前述一般定理保证。

双积分器的最优增益与代价 ​

取

该输入对可控，$Q^{1/2}=\mathrm{diag}(1,\sqrt{2})$ 满秩，故上述条件成立。写 $P=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& r\end{array}\right)$，Riccati 方程逐项成为

若 $q=-1$，则 $r=p=0$，所得矩阵不定。若 $q=1$，则 $r=\pm 2,p=r$；负号给出负定矩阵，半正定分支只能是

$P$ 的特征值为 $1,3$。闭环 $A-BK=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -2\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $(s+1{)}^2$，虽有非平凡 Jordan 块，仍为 Hurwitz。前述配平方证明因 $Q\succ 0$ 而完全适用。

当 $x_0=e_1$，解为

于是

比较极点配置增益 $K_{\mathrm{pp}}=(23)$，仍使用同一 $Q,R$。令 $A_{\mathrm{pp}}=A-B{K}_{\mathrm{pp}}$，直接相乘可验证

沿稳定闭环，$\frac{d}{dt}(x^{\mathsf{T}}Hx)=-x^{\mathsf{T}}(Q+K_{\mathrm{pp}}^{\mathsf{T}}{K}_{\mathrm{pp}})x$。积分且利用 $x(t)\to 0$，得到 $J_{\mathrm{pp}}(e_1)=e_1^{\mathsf{T}}H{e}_1=9/4>2$。因此 $-1,-2$ 两个稳定极点并没有胜过 LQR 的两个 $-1$；比较的依据是完整代价，而非谱的排序。

条件缺失时会怎样 ​

取标量 $A=B=R=1,Q=0$。系统可稳定，但成本观察完全看不见不稳定状态，故不可检测。$u=0$ 的成本为零，状态却发散。Riccati 方程 $2P-P^2=0$ 有 $P=0$ 与 $P=2$；前者给不稳定的最优控制，后者给稳定反馈却有成本 $2x_0^2$。缺少可检测性时，不能把稳定 Riccati 分支直接称作所有输入中的最优解。

另一方面，$A=-1,B=0,Q=0,R=1$ 满足可稳定与可检测条件，最优解却是 $P=0$。这说明一般定理只保证半正定，正定性需要更强条件。

这个单元的三个数有不同含义：有限时域从零到 $(1,0)$ 的最小输入能量是 $12$；无限时域从 $(1,0)$ 调节到零的 LQR 代价是 $2$；同样权重下指定极点反馈的代价是 $9/4$。初末条件、时域和目标函数都必须一起写明，数字才可比较。

物理传感器不足、输入有约束或系统受噪声驱动时，需要相应的估计、约束优化或随机控制模型。离散时间 Kalman 递推中的 Riccati 方程描述估计误差协方差，这里的连续时间方程则描述控制的最优价值；二者的对象和时间模型各有明确含义。