线性系统的可控性 | Codeboy's Blog

形式陈述

给定实常矩阵 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ 、 $B\in\mathbb R^{n\times m}$ ，考虑连续时间线性方程组

x'=Ax+Bu,\qquad x(0)=x_0.

在有限区间 $[0,T]$ 上取 $u\in L^2([0,T];\mathbb R^m)$ ，不限制输入幅值与变化率。状态取绝对连续函数，方程几乎处处成立；唯一解由常数变易公式给出。称 $(A,B)$ 可控，若对每个 $T>0$ 和任意 $x_0,x_T\in\mathbb R^n$ ，都存在输入使 $x(T)=x_T$ 。

定义可控矩阵与有限时域可控 Gramian：

\mathcal C=[B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B],\qquad W_c(T)=\int_0^T e^{At}BB^{\mathsf T}e^{A^{\mathsf T}t}\,dt.

以下条件等价： $(A,B)$ 可控； $\mathcal C$ 的秩等于 $n$ ；对某个 $T>0$ ， $W_c(T)$ 正定；对每个 $T>0$ ， $W_c(T)$ 正定。有限时域结论不要求 $A$ 稳定。

直觉

$B$ 给出输入当下能推动的方向， $AB,A^2B,\ldots$ 则记录动力学怎样把这些作用传递到其他坐标。执行器少于状态维数不意味着不可控：一个改变速度的力，经过时间积累也能改变位置。真正的问题是这些传播方向能否张成整个状态空间。

动力学传播输入方向，而速度传感器无法区分位置差 — 输入可达方向与输出不可辨方向

正常执行器 $B=e_2$ 经动力学传播能张成二维空间，而退化执行器 $B=e_1$ 只能产生位置方向的增量。左图蓝色方向 $e^{At}e_2=(t,1)^{\mathsf T}$ 随时间改变，两个不同时间的方向已线性无关；红色箭头表示始终不变的 $e_1$ ，为避免与坐标轴重叠而稍向下平移，其竖直分量仍为零。右图只测速度，同一水平虚线上的状态具有相同输出，表达的是可观测性中的初态不可辨，而非输入方向的缺失。

例子与边界

为什么秩与 Gramian 给出同一个答案

对任意 $v\in\mathbb R^n$ ，

v^{\mathsf T}W_c(T)v=\int_0^T\|B^{\mathsf T}e^{A^{\mathsf T}t}v\|^2\,dt.

因此 $W_c$ 半正定。若上式为零，由被积函数连续可知 $B^{\mathsf T}e^{A^{\mathsf T}t}v$ 恒为零；在 $t=0$ 逐阶求导，得到 $B^{\mathsf T}(A^{\mathsf T})^kv=0$ ，特别是 $0\le k<n$ 时成立。反过来，若这前 $n$ 项为零，Cayley–Hamilton 定理将更高次幂化为前 $n$ 次幂的线性组合，故所有项均为零，矩阵指数的级数也为零。于是

\ker W_c(T)=\ker\mathcal C^{\mathsf T}.

这对每个正 $T$ 都成立，从而证明了秩条件与两个正定条件等价。

再把目标与自由演化的差记为 $d=x_T-e^{AT}x_0$ ，并令

L_Tu=\int_0^T e^{A(T-s)}Bu(s)\,ds.

若 $W_c$ 可逆，取

u_*(s)=B^{\mathsf T}e^{A^{\mathsf T}(T-s)}W_c(T)^{-1}d,

直接代入得到 $L_Tu_*=d$ ，所以目标可达。若 $W_c$ 奇异，取非零 $v\in\ker W_c$ ，所有输入都满足 $v^{\mathsf T}L_Tu=0$ ，目标增量 $d=v$ 就不可能实现。这完成全部等价关系的证明，也说明从零出发的全空间可达性在本模型中足够判断任意初末状态的可控性。

最小输入能量与双积分器

上述 $u_*$ 还在所有到达同一终点的输入中唯一地（按几乎处处相等）最小化 $\int_0^T\|u\|^2dt$ 。事实上，任意可行输入可写成 $u=u_*+w$ ，其中 $L_Tw=0$ ，而

\int_0^T u_*^{\mathsf T}w\,ds=d^{\mathsf T}W_c^{-1}L_Tw=0.

勾股分解因此给出

\int_0^T\|u\|^2ds=d^{\mathsf T}W_c^{-1}d+\int_0^T\|w\|^2ds.

取位置、速度状态 $x=(x_1,x_2)^{\mathsf T}$ ，令

A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad B=\binom01, \quad e^{At}=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}.

此时 $\mathcal C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 满秩，且

W_c(T)=\begin{pmatrix}T^3/3&T^2/2\\T^2/2&T\end{pmatrix},\qquad \det W_c(T)=T^4/12>0.

要求在一单位时间内从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$ ，有

W_c(1)^{-1}=\begin{pmatrix}12&-6\\-6&4\end{pmatrix},\quad u_*(s)=6-12s.

积分得到速度 $x_2(s)=6s-6s^2$ 、位置 $x_1(s)=3s^2-2s^3$ ，端点确为 $(1,0)$ ，能量为 $\int_0^1(6-12s)^2ds=12$ 。控制先加速、后减速，最终位置改变而速度归零。

若改成 $B=e_1$ ，则 $AB=0$ ，可达增量只有 $\operatorname{span}(e_1)$ ， $W_c(T)=\operatorname{diag}(T,0)$ ；速度不受输入影响。这里所有结论均在无约束实输入下成立，加入饱和或非负输入约束后，满秩不能保证任意时限内到达任意目标。

推论与应用

满秩回答“能否到达”， $d^{\mathsf T}W_c^{-1}d$ 则回答“到达要花多少输入能量”。Gramian 很小的特征值对应昂贵方向，因此理论可控不等于数值上容易控制。数值求解宜使用线性方程求解器计算 $W_c^{-1}d$ ，不必显式求逆。

线性状态反馈进一步让输入随当前状态变化，以改变未来轨道；线性二次调节器还同时惩罚状态偏差与输入。本页求固定终点的有限时域最小能量输入，LQR 则求无限时域的最优调节反馈；各自的最优解由相应时域、约束和代价共同决定。

参考资料

Jonathan P. How、Emilio Frazzoli，MIT 16.30/31，2010，Topic 10: Controllability，讲义 10–1 至 10–3，可控性与秩判据。
Sanjay Lall，Stanford Engr210a，2001-10-30，Lecture 9: Controllability and Observability，9–3、9–4 的最小范数构造，9–11 的有限时域 Gramian，9–13 的最优输入。本文使用有限时域版本；无穷时域 Gramian 的收敛另需稳定性条件。

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