线性状态反馈与稳定化

开环输入是一条预先选好的时间函数；状态反馈则不断根据偏离原点的状态修正作用。在双积分器中，位置反馈产生回复力，速度反馈产生阻尼，两者共同决定闭环特征多项式。

把极点移入左半平面保证衰减，却未决定控制消耗有多大、测量噪声会被放大多少，也不表示越快越好。全状态可用还是一个实现前提：只测一个输出时，不能直接把未测坐标当作已知值代入反馈律。

单输入极点配置为什么能逐项解出 ​

令 $p(s)=\det (sI-A)$，$\mathrm{adj}(M)$ 表示矩阵 $M$ 的伴随矩阵。按列的多线性展开 $\det (M+bK)$：凡选入 $bK$ 的两列或更多列，这些列都平行于 $b$，对应项为零；只选一列的项由余子式展开合为 $K\mathrm{adj}(M)b$。因此

右边附加项是次数至多 $n-1$ 的多项式，因此定义一个从 $n$ 维行向量空间到 $n$ 维多项式空间的线性映射

只需证明它单射。取任一从属于向量范数的矩阵范数；当 $|s|>\Vert A\Vert$ 时，$\Vert A/s\Vert <1$，矩阵几何级数（Neumann 级数）收敛，给出 $(sI-A{)}^{-1}=s^{-1}\sum _{j\ge 0}(A/s{)}^j$。若上述多项式为零，在这个区域除以 $p(s)$，利用伴随矩阵的求逆公式得到

幂级数系数唯一性给出 $Kb=KAb=\cdots =K{A}^{n-1}b=0$。可控矩阵 $[bAb\cdots A^{n-1}b]$ 可逆，故 $K=0$。等维线性映射单射即满射，所以可令附加项等于 $q-p$，匹配其 $n$ 个系数，得到所需实增益。由此，配置特征多项式公理库特征多项式Characteristic polynomial由 det(λI−T) 定义并编码线性算子特征值的多项式。的系数就成为一个可逆的线性问题。

两个极点与一个无法移动的方向 ​

对 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$、$B=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1})$，写 $K=(k_1{k}_2)$，则

目标极点 $-1,-2$ 对应 $(s+1)(s+2)=s^2+3s+2$，所以 $K=(23)$，控制为 $u=-2x_1-3x_2$。

一般地，若非零复行向量 $w^{\ast }$ 满足 $w^{\ast }A=\lambda w^{\ast }$、$w^{\ast }B=0$，则对任意 $K$，

这个模态无法被反馈移动。将双积分器执行器改成 $B=e_1$，任意闭环都为 $\left(\begin{array}{cc}-k_1& 1-k_2\\ 0& 0\end{array}\right)$，必保留零特征值，因而不可稳定。

不可控系统也可能可稳定。例如 $A=\mathrm{diag}(1,-2),B=e_1$ 的第二方向不可控，但已自行衰减；取 $K=(20)$ 得闭环 $\mathrm{diag}(-1,-2)$。一般多输入系统同样有判据：可稳定当且仅当所有不可控模态严格位于左半平面；其完整结论见参考资料，以上配置证明限定于单输入情形。

可控性允许配置所有模态，可稳定性只要求消除不稳定模态。两者的区别在欠驱动系统中特别重要：已稳定且不受输入影响的方向不妨碍调节到零，却妨碍到达任意终点。

线性二次调节器公理库连续时间线性二次调节器Continuous-time linear quadratic regulator · LQR · 线性二次调节器在可稳定与代价可检测条件下，通过稳定 Riccati 解求无限时域二次代价的最优状态反馈。在稳定反馈之间引入状态和输入的代价权衡。上述 $K=(23)$ 将在同一个双积分器上与最优增益比较，得到“两个反馈都稳定，但代价不同”的精确算例。实现该反馈需要位置和速度；若只测速度，初始位置不可观，必须补充信息才能获得所需全状态。