向量空间

向量空间抽取的是“可以任意叠加、可以按标量缩放”这一结构。向量可以是平面箭头，也可以是一段多项式、一个连续函数或一张矩阵；判定依据是运算是否满足公理，而不是对象的外观。

域让非零标量都可以除掉。例如 $av=0_V$ 且 $a\ne 0_F$，两边乘以 $a^{-1}$，便有 $v=0_V$。把域换成一般环会得到模公理库模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。，但这种消去规则不再总是成立。

线性结构只保证有限线性组合 $a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n$ 有意义。即使空间无限维，每个代数基展开仍只用有限多个非零系数；“无限个向量相加”还需要另行定义收敛。长度、夹角和距离也不由线性公理指定，分别要用范数、内积或拓扑等附加结构。

向量可以是多项式、函数和矩阵 ​

对正整数 $d$，次数小于 $d$ 的多项式组成空间

零多项式也包含在内。加法、数乘逐系数进行，结果仍能写成上述形式；基 $1,x,\dots ,x^{d-1}$ 则把多项式表示为系数列表。这里按系数区分形式多项式。例如在 ${\mathbb{F}}_2$ 上，$x^2-x$ 与零多项式不同，但它在 $0,1$ 处的值都是零，所以两者定义了同一个函数。

$C([0,1],\mathbb{R})$ 在逐点运算下也是实向量空间，因为连续函数的线性组合仍连续。与有限维多项式空间不同，它没有有限个函数能张成全部连续函数：$1,x,x^2,\dots$ 中任意有限一组都线性无关。

所有 $2\times 2$ 实对称矩阵组成

任意一个矩阵都唯一写成

所以这三张矩阵构成一组基，$\dim S=3$。维数统计的是独立方向，不是矩形中显示的四个位置。

相近的集合未必仍是子空间 ​

非空子集 $W\subseteq V$ 是线性子空间公理库线性子空间Linear subspace · Vector subspace在原向量运算下封闭、因而自身构成向量空间的非空子集。，当且仅当

这个条件自动给出零向量、负向量以及运算封闭性；其余公理由母空间继承。

“迹等于 $1$ 的实矩阵”不含零矩阵，因此不是子空间，而是一个仿射集合。“全部奇异矩阵”虽然包含零矩阵，也不是子空间：$\mathrm{diag}(1,0)$ 与 $\mathrm{diag}(0,1)$ 都奇异，两者之和却是单位矩阵。这次失败发生在加法封闭性上。

标量域决定维数，基决定坐标 ​

$\mathbb{C}$ 作为复向量空间以 $1$ 为基，维数为 $1$；作为实向量空间则以 $1,i$ 为基，维数为 $2$。两种情况下加法相同，允许的缩放不同。更鲜明的是 $\mathbb{R}$：在 $\mathbb{R}$ 上维数为 $1$，在 $\mathbb{Q}$ 上却无限维。否则有限个基向量的有理线性组合只有可数多个，与实数不可数矛盾。

坐标还依赖基。实平面中的 $v=(3,1)$ 在标准基下坐标是 $(3,1)$；在 $b_1=(1,1),b_2=(1,-1)$ 下，因 $v=2b_1+b_2$，坐标变成 $(2,1)$。两组坐标描述同一个向量；把向量都换到同一组基下，就可以逐项相加来计算它们的和。

基公理库向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。让每个向量获得唯一的有限线性组合表示；线性映射公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。保持这些组合。因此，线性映射由它在一组基上的像完全决定。在有限维情形，选定定义域和值域的基，把这些像的坐标按列排列，就得到映射的矩阵。

向量空间有指定零点。平移后的直线通常不再包含它，却仍可谈点之间的差与系数和为 $1$ 的仿射组合；这正是仿射空间公理库仿射空间Affine space忘去原点但保留向量平移作用和仿射组合的空间。保留的结构。在线性空间中讨论参数增量，与在仿射参数集合中讨论允许状态，也有同样区别。

加入内积公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。可以抽取正交分量，加入范数公理库赋范向量空间Normed vector space带满足正定、齐次与三角不等式范数的向量空间。可以度量误差。在线性预测中，固定特征的实值评分函数 $f_w(x)=w^{\mathsf{T}}x$ 对线性组合封闭，因为 $a{f}_u+b{f}_v=f_{au+bv}$。取符号得到的 $\{-1,+1\}$ 值分类器则不封闭：两个分类器相加后可能输出 $0$ 或 $2$。