Brouwer 不动点定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

Brouwer 不动点定理断言：对实欧氏空间中的闭单位球

D^n=\{x\in\mathbb R^n:\|x\|\le1\},

任意连续映射 $f:D^n\to D^n$ 都存在一点 $x\in D^n$ 满足 $f(x)=x$ 。这里的坐标来自实数系，维数 $n$ 为有限非负整数； $n=0$ 时 $D^0$ 是单点，结论平凡，以下收缩论证针对 $n\ge 1$ 。

定理也适用于 $\mathbb R^n$ 中任意非空紧致凸集 $K$ 。若 $K$ 不是满维，就在它的仿射包内使用相对拓扑并降到实际维数。正维时，从一个相对内点沿各条射线走到边界，每条射线都有唯一终点；按这段径向长度归一化，可得到 $K$ 与同维闭球之间的同胚。单点情形则平凡。经典拓扑证明反设 $f$ 无不动点，从 $f(x)$ 经过 $x$ 向球面投射，构造一个不可能存在的连续收缩 $D^n\to S^{n-1}$ 。

直觉

若连续映射 $f$ 在闭球上处处无不动点，可从 $f(x)$ 沿穿过 $x$ 的射线连续地射到边界，从而构造闭球到边界球面的收缩映射。边界球面却不能成为闭球的 retract，这一拓扑不可能性迫使某点满足 $f(x)=x$ 。凸性使从内部沿直线寻找边界有唯一方向，闭球条件则保证这条射线确实在定义域边界上终止。

Brouwer 不动点定理：无不动点假设导出圆盘到边界的 retraction — Brouwer 不动点定理示意图

例子与边界

连续映射 $f:[0,1]\to[0,1]$ 的一维情形由介值定理得到： $f(x)-x$ 在两端异号或有零点。圆盘旋转总固定中心。去掉紧致性时 $f(x)=x+1$ 在 $\mathbb R$ 上无不动点；去掉凸/无洞结构时圆周旋转可无不动点。定理只保证存在，不直接给出高效定位算法或唯一性。

在二维闭圆盘上，映射 $f(x)=a$ 取常值 $a$ ，唯一不动点就是 $a$ 。映射 $f(x)=(x+a)/2$ 也把圆盘送回自身并在 $x=a$ 处固定。把定义域改成圆周后，非零角度旋转没有不动点；把闭区间改成开区间， $f(x)=(x+1)/2$ 将 $(0,1)$ 映入自身却无不动点，因为唯一候选 $1$ 不在空间内。

推论与应用

一维情形由介值定理得到，高维版本依赖拓扑连续性与闭球的紧致性。它可推出不存在从球到边界的 retract，并支撑 Nash 均衡、经济均衡、非线性方程和 Sperner 引理等存在性证明。与压缩映射定理不同，Brouwer 不给唯一性或收敛迭代；计算一个近似不动点还引出 PPAD 等复杂性概念，具体说明“保证存在”与“能够高效找到”是两回事。

参考资料

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, no-retraction and Brouwer fixed-point theorem。
John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011，Ch. 8, Brouwer fixed-point theorem and applications。

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