Brouwer 不动点定理

若连续映射 $f$ 在闭球上处处无不动点，可从 $f(x)$ 沿穿过 $x$ 的射线连续地射到边界，从而构造闭球到边界球面的收缩映射。边界球面却不能成为闭球的 retract，这一拓扑不可能性迫使某点满足 $f(x)=x$。凸性使从内部沿直线寻找边界有唯一方向，闭球条件则保证这条射线确实在定义域边界上终止。

连续映射 $f:[0,1]\to [0,1]$ 的一维情形由介值定理得到：$f(x)-x$ 在两端异号或有零点。圆盘旋转总固定中心。去掉紧致性时 $f(x)=x+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上无不动点；去掉凸/无洞结构时圆周旋转可无不动点。定理只保证存在，不直接给出高效定位算法或唯一性。

在二维闭圆盘上，取 $a\in D^2$，映射 $f(x)=a$ 取常值 $a$，唯一不动点就是 $a$。映射 $f(x)=(x+a)/2$ 也把圆盘送回自身并在 $x=a$ 处固定。把定义域改成圆周后，角度不属于 $2\pi \mathbb{Z}$ 的旋转没有不动点；把闭区间改成开区间，$f(x)=(x+1)/2$ 将 $(0,1)$ 映入自身却无不动点，因为唯一候选 $1$ 不在空间内。

一维情形由介值定理理路介值定理Intermediate value theorem连续函数在实区间上不能跳过中间高度；由完备性证明存在性，并厘清二分法、唯一性和不动点迭代。得到，高维版本依赖拓扑连续性理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。与闭球的紧致性理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。。它可推出不存在从球到边界的 retract，并支撑Nash 均衡理路Nash 均衡Nash equilibrium · 纳什均衡 · 混合策略纳什均衡每位玩家都无法在其他人策略固定时通过单方偏离增加期望收益；有限博弈总存在这样的混合策略剖面。、经济均衡、非线性方程和 Sperner 引理等存在性证明。Nash 的一个证明将正偏离增益归一化为概率单纯形积上的连续自映射，再证明其不动点没有获利的单方偏离。Banach 压缩映射定理理路Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备空间中的统一压缩给出唯一不动点；用几何尾和证明收敛，并把后验误差与残差转成停止证书。则在完备度量空间中要求统一压缩常数，给出唯一性与可认证的收敛迭代；Brouwer 只要求这里的连续自映射，不能给出这些额外保证。例如 $f(x)=1-x$ 在 $[0,1]$ 上唯一固定 $1/2$，但从其他点开始的直接迭代会形成二周期。计算一个近似不动点还引出 PPAD 等复杂性概念，具体说明“保证存在”与“能够高效找到”是两回事。

Schauder 紧像不动点定理理路Schauder 紧像不动点定理Schauder fixed-point theorem · Schauder compact mapping theorem · 绍德尔不动点定理把连续自映射的相对紧像近似进有限维凸包，由 Brouwer 取得近似不动点，再以紧性得到非线性积分方程的解。将本页用于无限维 Banach 空间中的连续自映射：先把相对紧像连续近似进有限网点的凸包，在这个凸包的实际有限维仿射包中使用 Brouwer，再由消失的固定点残差与像的紧性取得极限。网点无需线性无关，也没有把整个无限维闭球当成紧集。