诱导表示

只知道 $H$ 怎样作用于 $W$，不能随意给 $G\setminus H$ 的元素补上矩阵：补出的矩阵必须满足 $G$ 的所有乘法关系。诱导采取另一种构造方法，为每个右陪集安排一份 $W$。在同一个陪集 $H{x}_i$ 内，函数值由 $f(h{x}_i)={\rho }_H(h)f(x_i)$ 决定；不同陪集的代表元处可以独立取值。这样恰好留下 $[G:H]$ 份自由坐标。

当 $G$ 作用时，这些坐标会交换位置，并附带某个 $H$ 元素在 $W$ 上的作用。陪集记录“移到哪里”，原来的表示记录“到那里后怎样改变向量”。平凡的一维 $H$ 表示只产生位置交换；非平凡表示还能在交换时引入符号或更一般的线性变换。

先检查构造确实给出表示 ​

函数的等变条件在右平移后仍成立，因为

因此 ${\rho }_I(g)$ 把指定的函数空间映回自身。进一步，

单位元作用为恒等，$g^{-1}$ 给出逆变换，故这是表示。

评价坐标也没有遗漏约束。任选 $w_i\in W$，定义 $f(h{x}_i)={\rho }_H(h)w_i$；每个 $x\in G$ 都唯一写成某个 $h{x}_i$，所以函数定义良好，并满足等变条件。因而评价映射既单射又满射，维数公式随之成立。换代表元 $x_i^{\prime }=h_i{x}_i$ 只会把第 $i$ 个坐标改成 ${\rho }_H(h_i)f(x_i)$，不会改变所构造的表示。

从陪集坐标读出矩阵与特征标 ​

固定 $g\in G$，对每个 $i$ 唯一写成

于是新函数的第 $i$ 个坐标为

这给出一张分块矩阵：第 $i$ 行只有第 $j(i)$ 列的块非零，该块是 ${\rho }_H(h_i)$。只有 $j(i)=i$ 的块会贡献迹；这一条件等价于 $x_{i}g{x}_i^{-1}\in H$。由特征标的定义公理库有限群表示的特征标Character of a finite-group representation · Representation character · 群表示的特征标有限维复表示的特征标把每个群元素映到其作用算子的迹，并以类函数的形式记录不可约分解信息。，

为去掉代表元选择，注意 $x=h{x}_i$ 给出的共轭元素是 $h(x_{i}g{x}_i^{-1})h^{-1}$，在 $H$ 中具有相同特征标。每个右陪集有 $|H|$ 个元素，故

这个公式将取迹归结为两件事：哪些陪集被作用保持，以及每个保持的块内部产生多少迹。特别地，$g=e$ 时全部块贡献 $\dim W$，再次得到维数公式。

函数的输入右乘 $g$，而支撑的位置右乘 $g^{-1}$：若 $f$ 只在 $H{x}_i$ 上可能非零，则 ${\rho }_I(g)f$ 只在 $H{x}_i{g}^{-1}$ 上可能非零，因为 $xg\in H{x}_i$ 恰好等价于 $x\in H{x}_i{g}^{-1}$。这也说明为什么不能把坐标的读取方向直接当作支撑的移动方向。

完整算例：从非平凡 C2 表示得到三个坐标 ​

取 $G=S_3$、$s=(12)$、$r=(123)$、$H=\{e,s\}$。置换乘法约定右侧先作用。令 $W={\mathbb{C}}_{-}$，其中 ${\rho }_H(s)=-1$。取右陪集代表 $e,(13),(23)$，则

一个等变函数由 $(a,b,c)=(f(e),f((13)),f((23)))$ 决定，因此诱导空间维数为 $3$。逐项分解代表元右乘生成元的结果：

每出现一次左侧的 $s$，等变条件便贡献一个负号。由此得到

即

直接相乘可核验 $S^2=I$、$R^3=I$、$SRS=R^2$，与 $S_3$ 的生成元关系一致。按单位元、换位、三循环排列，特征标为

也能从求和公式重算：单位元的六项均为 $1$，除以 $2$ 得 $3$；对任意换位 $g$，恰有两个 $x$ 将它共轭到 $s$，两项均为 $-1$，结果为 $-1$；三循环的共轭类不与 $H$ 相交，和为零。矩阵计算和陪集计数由此相互核验。

平凡表示与两个极端子群 ​

若改取 ${\rho }_H(s)=1$，上述所有负号都变成正号，得到特征标 $(3,1,0)$。一般地，诱导平凡表示的基由右陪集的指示函数组成，$g$ 把 $Hx$ 对应的基向量送到 $Hx{g}^{-1}$。通过 $Hx\mapsto x^{-1}H$，这就是 $G$ 在左陪集上的置换表示。在当前例子中，$H$ 是点 $3$ 的稳定子群，所以它同构于三点置换表示。

若 $H=G$，函数由 $f(e)$ 唯一决定，且 $f(g)={\rho }_H(g)f(e)$，评价给出 ${\mathrm{Ind}}_G^{G}W\cong W$。若 $H=\{e\}$ 且 $W=\mathbb{C}$，空间就是 $G$ 上全部复值函数；将点 $x$ 的指示函数对应到正则表示的基向量 $e_{x^{-1}}$，可见它同构于左正则表示。这两个极端分别检查了构造的原样保留和最大扩张情形。

S3 特征标表公理库S3 特征标表的计算Character table of S3 · S₃ character table从三点置换表示构造 S3 的完整复特征标表，以加权正交检验不可约性并分解正则表示。的三行是 $(1,1,1)$、$(1,-1,1)$ 和 $(2,0,-1)$。本页得到的 $(3,-1,0)$ 等于后两行之和，故诱导表示同构于 $\mathrm{sgn}\oplus U$。这也给出一个具体提醒：一维不可约的子群表示，诱导后可以变成可约表示。

还可以在更小的群 $H$ 上核验这个分解。对不可约 $G$ 表示 $V$，Frobenius 互反定理公理库Frobenius 互反定理Frobenius reciprocity · 弗罗贝尼乌斯互反定理以单位元处评价建立诱导与限制的交织空间同构，将大群诱导表示的不可约重数化为子群内积。把 $V$ 在 ${\mathrm{Ind}}_H^{G}W$ 中的重数，转成 $W$ 与 ${\mathrm{Res}}_H^{G}V$ 的交织空间维数；下一页将直接构造这一对应，并在同一个 $C_2\le S_3$ 例子中算出 $0,1,1$ 三个重数。