有限群表示的特征标

一个 $d$ 维表示为每个群元素提供一张 $d\times d$ 矩阵；特征标把这组矩阵变成群上的一个函数。群乘法约束了矩阵之间的关系，而直和分解又把它们组织成不可约块。因此在有限群复表示中，整个迹函数足以保留不可约成分及其重数。

单位元处的值记录维数，其他共轭类上的值记录不同对称操作的迹。特征标正交关系公理库特征标正交关系Character orthogonality · Orthogonality of characters · 特征标正交定理有限群的不可约复特征标构成类函数空间的正交规范基，其内积直接给出表示分解的重数。用这些值恢复每个不可约成分的重数，由此得到：两个有限维复表示同构，当且仅当它们的特征标处处相等。

置换表示的迹就是固定点数 ​

设 $G$ 作用于有限集合 $X$，相应置换表示的基为 $e_x$，且 $\rho (g)e_x=e_{g\cdot x}$。矩阵第 $x$ 列只有一个 $1$：它在第 $g\cdot x$ 行。这个 $1$ 落在对角线上，当且仅当 $g\cdot x=x$。因此

例如 $C_2=\{e,s\}$ 交换两个点。单位元固定两个点，$s$ 没有固定点，故按 $(e,s)$ 的顺序，特征标为 $(2,0)$。另一方面，向量 $(1,1)$ 张成平凡表示，$(1,-1)$ 张成符号表示；二者的特征标分别为 $(1,1)$ 和 $(1,-1)$，相加确实得到 $(2,0)$。

正则表示给出最集中的特征标 ​

在左正则表示中，基向量以群元素标记，$\rho (g)e_h=e_{gh}$。若 $g$ 固定某个基向量，则 $gh=h$，消去 $h$ 得 $g=e$。因此

当 $|G|>1$ 时，正则表示包含由 $\sum _{h\in G}{e}_h$ 张成的非零真不变子空间，因而可约。后续的重数公式还会从这个仅在单位元非零的函数中，读出全部不可约复表示的维数。

为什么会出现复共轭 ​

若 $g$ 的阶是 $m$，则 $\rho (g{)}^m=I$。每个特征值 $\lambda$ 都满足 ${\lambda }^m=1$，所以 $|\lambda |=1$，从而 ${\lambda }^{-1}=\bar{\lambda }$。逆矩阵的特征值是原特征值的倒数，迹又是全部特征值按代数重数之和，因此

例如 $C_3$ 的一维表示把生成元映到 $\omega =e^{2\pi i/3}$，特征标为 $(1,\omega ,{\omega }^2)$。生成元与其逆元处的值互为复共轭：$\bar{\omega }={\omega }^2$。

特征标的乘法与取值条件 ​

$C_2$ 的交换表示满足 $\chi (s^2)=\chi (e)=2$，而 $\chi (s{)}^2=0$，所以它的特征标不保乘法。表示矩阵保持乘法，取迹则把矩阵乘积变成 $\mathrm{tr}(\rho (g)\rho (h))$，一般不等于两个迹的乘积。一维时，矩阵就是标量，特征标才直接等于到 ${\mathbb{C}}^{\times }$ 的表示同态。

类函数要成为特征标，还须满足表示带来的数值条件。例如 $C_2$ 上恒为 $-1$ 的函数在每个共轭类上常值，但它在单位元处为负数，不可能等于向量空间维数。完整判据由正交理论给出：类函数在不可约特征标基下的系数全为非负整数，恰好对应实际表示的重数。

若 $V\cong \underset{i}{⨁}{V}_i^{\oplus m_i}$，直和可加性立即给出

因此，一旦知道不可约特征标，就可把表示分解化为函数分解。特征标正交关系公理库特征标正交关系Character orthogonality · Orthogonality of characters · 特征标正交定理有限群的不可约复特征标构成类函数空间的正交规范基，其内积直接给出表示分解的重数。提供求系数 $m_i$ 的内积公式，并说明这些系数为何唯一。

具体计算可以从容易构造的表示出发：先用固定点数求置换表示的特征标，再减去已知的直和成分。S3 特征标表的计算公理库S3 特征标表的计算Character table of S3 · S₃ character table从三点置换表示构造 S3 的完整复特征标表，以加权正交检验不可约性并分解正则表示。把三点置换空间拆成常数直线与和零平面；从置换特征标 $(3,1,0)$ 减去常数直线的 $(1,1,1)$，就得到和零平面上的标准特征标 $(2,0,-1)$。