共轭类

共轭把 $x$ 看作一个变换，并允许同时改变观察它的群内坐标。$gx{g}^{-1}$ 先用 $g^{-1}$ 换入新坐标，执行 $x$，再用 $g$ 换回；得到的元素在群中的位置可能不同，却保留阶、中心化子结构等内在性质。

共轭类的大小反映 $x$ 对这种换坐标有多敏感。在同一个有限群中，中心化子越大，越多坐标变化保持 $x$ 不变，共轭类就越小。中心元素与所有元素交换，因而共轭类只有自身一个点。

在对称群 $S_n$ 中，共轭直接重命名循环中的符号：

所以共轭保持循环型；反过来，循环型相同的两个置换，可以逐个对应等长循环中的符号，由此构造实现共轭的 $g$。例如 $S_4$ 的六个换位构成一个类，三个双换位 $(12)(34),(13)(24),(14)(23)$ 构成另一个类。前者移动两个点，后者移动四个点，循环型不同，尽管元素阶都为 $2$。

阿贝尔群中 $gx{g}^{-1}=x$，每个共轭类都是单点。在 $S_3$ 中，三个换位彼此共轭，两个三循环彼此共轭，连同单位元得到三个共轭类。它们的大小 $1,3,2$ 同时给出S3 特征标表公理库S3 特征标表的计算Character table of S3 · S₃ character table从三点置换表示构造 S3 的完整复特征标表，以加权正交检验不可约性并分解正则表示。内积计算所需的权重。

共轭类还随环境群变化。在阿贝尔子群 $A_3=\{e,(123),(132)\}$ 内，两个三循环各自形成单点类；放到 $S_3$ 中，它们便由 $(12)$ 的共轭联系起来：

实现这次共轭的换位位于 $S_3\setminus A_3$，因此扩大环境群合并了原先的两条轨道。

子集 $S\subseteq G$ 在所有共轭下不变，当且仅当它是若干共轭类的并。特别地，子群 $N\le G$ 正规，当且仅当它是共轭类的并；这把正规性公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。转写为内自同构下的不变性。

有限群按共轭类分拆后得到类方程，其中单点类正好来自群中心。轨道–稳定子定理公理库轨道–稳定子定理Orbit–stabilizer theorem有限群作用下元素轨道大小等于群阶除以稳定子阶。负责计算每类大小。共轭也可以作用在子群组成的集合上：把 $H$ 送到 $gH{g}^{-1}$；Sylow 定理公理库Sylow 定理Sylow theorems描述有限群中素数幂阶子群的存在性、共轭性与数量约束。中所有 Sylow $p$-子群构成一条这样的轨道。

表示论中的特征标公理库有限群表示的特征标Character of a finite-group representation · Representation character · 群表示的特征标有限维复表示的特征标把每个群元素映到其作用算子的迹，并以类函数的形式记录不可约分解信息。在共轭类上常值，因为表示 $\rho$ 满足

因此共轭类给出有限群特征标表的列索引，行则对应不可约复表示。特征标正交定理公理库特征标正交关系Character orthogonality · Orthogonality of characters · 特征标正交定理有限群的不可约复特征标构成类函数空间的正交规范基，其内积直接给出表示分解的重数。进一步证明，行数恰好等于列数。