特征标正交关系 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $G$ 为有限群， $\mathrm{CF}(G)$ 是所有复值类函数组成的向量空间，即在每个共轭类上常值的函数 $G\to\mathbb C$ 。取共轭类 $C_1,\ldots,C_r$ 及代表 $c_j\in C_j$ ，定义

\langle f,h\rangle_G =\frac1{|G|}\sum_{g\in G}f(g)\overline{h(g)} =\frac1{|G|}\sum_{j=1}^r|C_j|f(c_j)\overline{h(c_j)}.

它使 $\mathrm{CF}(G)$ 成为复内积空间；这里采用第一变量线性、第二变量共轭线性的约定。类大小都是正数，因此 $\langle f,f\rangle_G=0$ 当且仅当 $f=0$ 。

特征标正交定理断言：从每个不可约复表示同构类选取一个代表，其特征标 $\chi_1,\ldots,\chi_k$ 构成 $\mathrm{CF}(G)$ 的正交规范基。于是

\langle\chi_i,\chi_j\rangle_G=\delta_{ij},\qquad k=r.

若有限维复表示 $V$ 分解为 $V\cong\bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ ，则

m_i=\langle\chi_V,\chi_i\rangle_G, \qquad \langle\chi_V,\chi_V\rangle_G=\sum_i m_i^2.

因此，非零表示 $V$ 不可约，当且仅当 $\langle\chi_V,\chi_V\rangle_G=1$ 。

直觉

把特征标表的一行看成一种不可约成分的“读数”。这些行彼此正交，因此把待分解表示的特征标投影到某一行上，就能测出该成分出现了几次。

桥梁是交织算子。两个不同构的不可约表示之间没有非零交织算子，同一个不可约表示的自交织空间只有一个标量方向。下面证明特征标内积恰好等于交织空间的维数， $0$ 和 $1$ 便自然成为内积的取值。

按共轭类求和时，每类代表原群中的 $|C_j|$ 个元素，故该列以 $|C_j|$ 为权重。这使表格中的加权内积等于对全部群元素的平均。

例子与边界

平均投影把内积变成交织空间的维数

先取任意有限维复表示 $V,W$ ，在 $H=\operatorname{Hom}_{\mathbb C}(W,V)$ 上定义

R_g(T)=\rho_V(g)T\rho_W(g)^{-1}, \qquad P=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}R_g.

由表示的乘法关系可得 $R_hR_g=R_{hg}$ 。对固定 $h$ ，左乘将求和指标重排，所以 $R_hP=P$ 。这说明 $P$ 的像包含于所有 $R_h$ 的公共不动空间；而若 $R_h(T)=T$ 对全部 $h$ 成立，则 $P(T)=T$ 。公共不动条件恰好是

\rho_V(h)T=T\rho_W(h),

故 $P$ 是投影，且 $\operatorname{im}P=\operatorname{Hom}_G(W,V)$ 。

为计算 $P$ 的迹，选取 $V,W$ 的基。对矩阵单位 $E_{ab}$ ，它只将 $W$ 的第 $b$ 个基向量送到 $V$ 的第 $a$ 个基向量。若 $A=\rho_V(g)$ 、 $B=\rho_W(g)^{-1}$ ，则 $AE_{ab}B$ 的第 $(a,b)$ 项为 $A_{aa}B_{bb}$ 。这是线性算子 $T\mapsto ATB$ 在基向量 $E_{ab}$ 上的对角系数，因而

\operatorname{tr}R_g =\sum_{a,b}A_{aa}B_{bb} =\chi_V(g)\chi_W(g^{-1}) =\chi_V(g)\overline{\chi_W(g)}.

投影满足 $H=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ ，并在两部分上分别作用为恒等与零，因此它的迹就是像的维数。结合迹的线性性，得到核心恒等式

\boxed{\langle\chi_V,\chi_W\rangle_G =\dim_{\mathbb C}\operatorname{Hom}_G(W,V).}

现在令 $V,W$ 不可约，Schur 引理给出右边在同构时为 $1$ ，不同构时为 $0$ ，行正交关系由此成立。类函数空间维数是 $r$ ，因为一个类函数由它在 $r$ 个类上的值唯一决定；正交的非零向量线性无关，所以不同构不可约表示的数量至多为 $r$ ，特别地只有有限多个。

为什么不可约特征标已经找全了

行正交给出线性无关，接下来证明这些函数张成全部类函数空间。设 $f\in\mathrm{CF}(G)$ 与所有不可约特征标正交。对任意不可约表示 $V_i$ 定义

A_i=\sum_{g\in G}f(g^{-1})\rho_i(g).

对 $A_i$ 用 $\rho_i(h)$ 共轭，令新指标为 $hgh^{-1}$ ；由于 $f$ 是类函数，系数不变，故 $A_i$ 与所有群作用交换。Schur 引理于是给出 $A_i=\lambda_i I$ 。另一方面，令 $x=g^{-1}$ ，可算得

\operatorname{tr}A_i =\sum_x f(x)\chi_i(x^{-1}) =\sum_x f(x)\overline{\chi_i(x)} =|G|\langle f,\chi_i\rangle_G=0.

由于 $\dim V_i>0$ 且在复数域上， $\lambda_i\dim V_i=0$ 推出 $A_i=0$ 。

把同一加权和用于左正则表示，记为 $A_{\mathrm{reg}}$ 。Maschke 定理保证这个有限维表示可分成不可约子表示； $A_{\mathrm{reg}}$ 在每个子表示上的限制都为零，因此整个算子为零。正则表示的基记为 $e_g$ ，将它作用于 $e_e$ 得

0=A_{\mathrm{reg}}e_e=\sum_{g\in G}f(g^{-1})e_g.

基向量线性无关，故全部系数为零，即 $f=0$ 。不可约特征标张成空间的正交补只有零向量，它们因此构成基。

重数公式与最小算例

Maschke 定理还保证任意 $V$ 都有不可约直和分解。特征标的直和可加性给出 $\chi_V=\sum_i m_i\chi_i$ ；与 $\chi_j$ 作内积只留下第 $j$ 项，所以 $m_j=\langle\chi_V,\chi_j\rangle_G$ 。再与自身作内积，就得到 $\sum_i m_i^2$ 。非零表示至少有一个正重数，这个平方和为 $1$ 恰好表示只有一个不可约成分且只出现一次。

在 $C_2=\{e,s\}$ 中，共轭类都是单点。平凡与符号特征标为 $\chi_+=(1,1)$ 、 $\chi_-=(1,-1)$ ，于是

\langle\chi_+,\chi_-\rangle=\frac{1-1}{2}=0, \qquad \langle\chi_+,\chi_+\rangle =\langle\chi_-,\chi_-\rangle=\frac{1+1}{2}=1.

交换表示的特征标 $(2,0)$ 与两行的内积都为 $1$ ，故它恰好是平凡表示与符号表示的直和。

类大小与复共轭的作用

S3 特征标表的三列分别代表 $1,3,2$ 个元素。对标准特征标 $(2,0,-1)$ ，这些权重给出范数平方 $(4+3\cdot0+2\cdot1)/6=1$ ，与标准表示不可约相符。

复共轭使每项对范数的贡献成为模平方。取 $C_3$ 的一维特征标 $(1,\omega,\omega^2)$ ，其中 $\omega^3=1$ 、 $\omega\ne1$ ，范数平方为 $(1+|\omega|^2+|\omega^2|^2)/3=1$ 。若改为各项直接平方，得到的则是 $(1+\omega^2+\omega^4)/3=0$ ；这是另一个双线性表达式，会发生相消，因而不能度量向量长度。

推论与应用

同构判定与正则表示分解

若两个有限维复表示的特征标相等，与每个不可约特征标的内积就相等，故每个不可约成分的重数都相同，两表示因而同构。类似地，一个类函数是实际表示的特征标，当且仅当它在不可约特征标基下的系数全为非负整数：必要性来自重数公式，充分性来自按这些重数取直和。

正则特征标只有单位元处为 $|G|$ ，所以 $V_i$ 在正则表示中的重数为

\langle\chi_{\mathrm{reg}},\chi_i\rangle_G =\overline{\chi_i(e)}=\dim V_i.

比较分解两侧的维数得到

|G|=\sum_i(\dim V_i)^2.

因此正则表示包含所有不可约复表示，并且其重数就是各自维数。不可约特征标作为类函数空间的一组基，还给出不可约表示同构类数等于共轭类数。

列正交与表格检验

行正交对群元素求和，比较的是两个表示；列正交则对不可约表示求和，比较两个共轭类。具体地，令

U_{ij}=\sqrt{\frac{|C_j|}{|G|}}\chi_i(c_j).

行正交说明 $UU^*=I$ ，完整性保证 $U$ 是 $r\times r$ 方阵，故也有 $U^*U=I$ 。逐项展开并取复共轭，得到

\sum_i\chi_i(c_j)\overline{\chi_i(c_\ell)} =\begin{cases}|G|/|C_j|,&j=\ell,\\0,&j\ne\ell.\end{cases}

对角值正是中心化子的阶，因此列正交可以检查表中各列是否一致。正交本身描述的是函数的几何关系；例如把平凡行乘以 $-1$ ，所有行、列正交关系仍成立，但新行在单位元处为 $-1$ ，无法作为表示的特征标。S3 的完整计算从实际表示取得各行，再用正交性证明不可约与穷尽。

对有限阿贝尔群，每个共轭类都是单点，每个不可约表示都是一维，上述展开便成为有限群上的 Fourier 展开。

当待分解表示由子群诱导而来时，Frobenius 互反定理把本页的 $G$ 内积变成 $H$ 内积。其证明直接对应本页的交织空间公式： $\operatorname{Hom}_G(V,\operatorname{Ind}_H^G W)$ 与 $\operatorname{Hom}_H(\operatorname{Res}_H^G V,W)$ 通过单位元处评价互相转换。

参考资料

Pavel Etingof, Oleg Golberg, Sebastian Hensel, Tiankai Liu, Alex Schwendner, Dmitry Vaintrob, Elena Yudovina, Introduction to Representation Theory，MIT 作者公开讲义，2011-01-10 版，§3.5，Theorems 3.8、3.9，印刷页 37–38。
Charles Rezk, Notes on Finite Group Representations，University of Illinois 本科课程讲义，Fall 2020，§19–20，印刷页 15–17；§21，正则表示与维数平方和，印刷页 17–18；§22，完整性与共轭类数，印刷页 19–20。

形式陈述 ​

平均投影把内积变成交织空间的维数 ​

为什么不可约特征标已经找全了 ​

重数公式与最小算例 ​

类大小与复共轭的作用 ​

同构判定与正则表示分解 ​

列正交与表格检验 ​

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