Schur 引理

交织条件要求 $T$ 尊重整套群作用：先施加对称性再映射，与先映射再施加同一个对称性，结果一致。因此，$T$ 丢掉的方向和留下的方向也必须成组地尊重对称性。不可约表示没有可供它“丢掉一部分、保留一部分”的中间不变子空间，非零交织算子只能完整地搬运整个表示。

标量形式描述的是与整套群作用相容的自映射。一个特征值 $\lambda$ 先给出 $T$ 在某个方向上的行为，不可约性再迫使这个行为扩展到整个空间。因此全部自交织算子只剩“对每个向量乘同一个数”这一种自由度。

从平凡表示到符号表示 ​

取 $C_2=\{e,s\}$ 的两个一维复表示：平凡表示令 $s$ 作用为 $1$，符号表示令 $s$ 作用为 $-1$。它们之间的线性映射就是乘以一个数 $t$，交织条件要求

于是 $2t=0$，故 $t=0$。两表示不同构，确实没有非零交织算子。若源与目标都是平凡表示，任意复数 $t$ 都满足交织条件，自交织空间恰好一维。

实数域上可以有非标量自交织算子 ​

让 $C_3$ 的生成元在 ${\mathbb{R}}^2$ 上作用为 ${120}^{\circ }$ 旋转 $R$。如果存在一条不变实直线，$R$ 就有实特征向量；但其特征多项式为 $t^2+t+1$，没有实根，因此这个实表示不可约。

另一方面，${90}^{\circ }$ 旋转

与 $R=-\frac{1}{2}I+\frac{\sqrt{3}}{2}J$ 交换，却不是实标量矩阵。解交换方程可得，全部自交织算子恰为 $aI+bJ$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$。当 $(a,b)\ne (0,0)$ 时，

所以非零自交织算子仍都可逆；全部自交织算子组成的除环同构于 $\mathbb{C}$，其中 $J$ 对应虚数单位。这里一般形式成立，标量形式的代数闭条件则由这个二维实例体现出来。

可约表示允许更大的交换空间 ​

在 $C_2$ 的平凡表示与符号表示的直和上，$s$ 的矩阵是 $\mathrm{diag}(1,-1)$。任意 $\mathrm{diag}(a,b)$ 都与它交换，无需 $a=b$。若取两个平凡表示的直和，则群作用全部为 $I_2$，每个 $2\times 2$ 矩阵都交织，连两个副本也可以互相混合。可约表示的自交织算子因而会记录不同不可约成分及其重复次数。

若两个有限维复不可约表示同构，选定一个交织同构 $S:V\to W$，则任意交织算子 $T$ 都满足 $S^{-1}T=\lambda I$，即 $T=\lambda S$。结合不同构时的零结论，得到

当 $G$ 有限时，特征标正交关系公理库特征标正交关系Character orthogonality · Orthogonality of characters · 特征标正交定理有限群的不可约复特征标构成类函数空间的正交规范基，其内积直接给出表示分解的重数。把这个维数写成两个迹函数的内积，从而将同构判定转为有限求和。Maschke 定理公理库Maschke 定理Maschke's theorem当域特征不整除有限群阶时，每个有限维表示都完全可约。保证有限群的复表示可以拆成不可约块；Schur 引理则确定块与块之间的交织空间，两者共同给出特征标的重数公式。

对阿贝尔群的有限维不可约复表示，每个 $\rho (g)$ 都与全部群作用交换，因而都是标量。若维数大于一，每条直线便都不变，与不可约性矛盾。因此这类表示必为一维。这给有限阿贝尔群上的 Fourier 展开提供了表示论解释。