阶21群的分类与特征标表

形式陈述

阶为 $21$ 的群恰有两种同构类型：

C_{21}, \qquad G=C_7\rtimes C_3 =\langle a,b:a^7=b^3=1,\;bab^{-1}=a^2\rangle.

第二种半直积使用非平凡作用。它的每个元素唯一写成 $a^i b^j$ ，其中 $i$ 模 $7$ 、 $j$ 模 $3$ ；乘法是

(i,j)(k,\ell)=(i+2^j k,\;j+\ell).

本页进一步计算这个非阿贝尔群的全部不可约复特征标。令

\omega=e^{2\pi i/3},\qquad \zeta=e^{2\pi i/7}, \qquad \alpha=\zeta+\zeta^2+\zeta^4,\quad \beta=\zeta^3+\zeta^5+\zeta^6.

有 $\beta=\overline\alpha$ 、 $\alpha+\beta=-1$ 、 $\alpha\beta=2$ ，且 $\alpha=(-1+i\sqrt7)/2$ 、 $\beta=(-1-i\sqrt7)/2$ 。表中的列按共轭类排列，第二行给出各类大小：

代表	$1$	$a$	$a^3$	$b$	$b^2$
类大小	$1$	$3$	$3$	$7$	$7$
$\chi_0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$\omega$	$\omega^2$
$\chi_2$	$1$	$1$	$1$	$\omega^2$	$\omega$
$\rho$	$3$	$\alpha$	$\beta$	$0$	$0$
$\overline\rho$	$3$	$\beta$	$\alpha$	$0$	$0$

这里 $\rho$ 与 $\overline\rho$ 也用来表示相应表示的特征标；两者维数都是 $3$ 。下面先构造实际表示，再证明不可约与穷尽；表格满足若干正交等式本身并不能替代表示的存在。

直觉

群的分类和表示的分类在这里接成一条短链。Sylow 计数先找出唯一的七阶正规子群；剩下的三阶方向只能平凡地作用，或把指数按乘 $2$ 循环移动。

同一个三循环又决定了特征标表的主要结构。七阶子群的六个非平凡一维特征标被分成两个三元素轨道；每个轨道诱导成一个三维表示。因此群内部的共轭轨道与表示中的频率轨道，都由模 $7$ 的乘 $2$ 控制。商群 $C_3$ 则贡献另外三条一维特征标。

例子与边界

先从群阶证明只有两种类型

设 $H$ 为任意阶 $21$ 的群。Sylow 定理给出 $n_7\mid3$ 且 $n_7\equiv1\pmod7$ ，故 $n_7=1$ 。它的七阶子群 $N=\langle a\rangle$ 正规。再取三阶子群 $K=\langle b\rangle$ ；两者阶互素，所以交集平凡，且 $NK$ 有 $21$ 个元素。由内部半直积判据， $H=N\rtimes K$ 。

共轭作用由某个 $r\in(\mathbb Z/7)^\times$ 决定： $bab^{-1}=a^r$ 。因为 $b^3=1$ ，有 $r^3\equiv1\pmod7$ 。对六个非零余类检验，只有

r\in\{1,2,4\}.

$r=1$ 时两个因子交换， $ab$ 的阶是 $21$ ，得到 $C_{21}$ 。 $r=4$ 时改用生成元 $b'=b^2$ ，其作用指数变成 $4^2\equiv2$ ，所以与 $r=2$ 给出同一种类型。乘 $2$ 确实是三阶自同构，因为 $2^3\equiv1$ 而 $2\not\equiv1$ ；外部半直积保证这种非阿贝尔群确实存在，并有恰好 $21$ 个元素。

这完成了存在性、穷尽性和两类不同构三件事。不能只从一个群表示式的形式宣称它有 $21$ 个元素：这里的外部构造给出了实际模型。

手算乘法与共轭类

按上述坐标，

(a^2b)(a^3b^2)=a^{2+2\cdot3}=a, \qquad (a^3b^2)(a^2b)=a^{3+4\cdot2}=a^4.

两种次序得到不同结果，直接看见非交换性。对 $N$ 内元素，共轭 $b a^k b^{-1}=a^{2k}$ ，所以有三个类：

\{1\},\qquad \{a,a^2,a^4\},\qquad \{a^3,a^6,a^5\}.

$N$ 本身交换，来自 $N$ 的共轭不再细分或扩大这些轨道。

阶21非阿贝尔群中，共轭b将七阶子群的六个非单位元分成两个三循环，单位元固定；两个轨道分别决定特征标值alpha与beta

图中只画 $N$ 内的共轭轨道。全群还包含 $Nb$ 与 $Nb^2$ 两个陪集，需要另行计算；对 $j=1,2$ ，

a^t(a^i b^j)a^{-t} =a^{\,i+(1-2^j)t}b^j.

系数 $1-2^j$ 模 $7$ 非零，所以 $t$ 遍历七个值时得到整个陪集 $Nb^j$ 。共轭不能改变在阿贝尔商群 $G/N$ 中的像，因此 $Nb$ 、 $Nb^2$ 各自恰为一个共轭类。类大小合计 $1+3+3+7+7=21$ ，正好覆盖全群。

循环类型的表示为何完全不同

对循环群 $C_{21}=\langle g\rangle$ ，二十一条特征标

\psi_k(g^j)=e^{2\pi i kj/21}, \qquad 0\le k<21,

已经给出全部不可约复表示：它们互不相同、都是一维，维数平方和为 $21$ 。而非阿贝尔类型只有五个共轭类，并出现三维不可约表示。因此“阶相同”并不决定特征标表。

本页使用复数域。若系数域的特征整除 $21$ ，Maschke 分解不再保证成立，不能原样用维数平方和与普通复特征标分类模表示。即使更换成实数域，也要重新处理复共轭表示之间的关系，不能直接把表中复数抹掉。

推论与应用

商群给出全部一维表示

一维表示中的 $a,b$ 都作用为非零复标量。标量交换，使关系 $bab^{-1}=a^2$ 化成 $\lambda_a=\lambda_a^2$ ，所以 $\lambda_a=1$ 。另外 $\lambda_b^3=1$ ，故只有

\chi_j(a)=1,\qquad\chi_j(b)=\omega^j, \qquad j=0,1,2.

它们都是从商群 $G/N\cong C_3$ 拉回的表示，并给出表中的前三行。关系已经排除了其他一维可能，并非仅仅碰巧找到三条。

从七阶子群构造两个三维表示

对 $r=1,3$ ，取 $N$ 的一维表示 $\lambda_r(a)=\zeta^r$ ，并令

V_r=\operatorname{Ind}_N^G\lambda_r.

诱导表示的右陪集模型取代表 $1,b,b^2$ 。用三处函数值作坐标，可直接写出生成元矩阵：

D_r=\begin{pmatrix} \zeta^r&0&0\\ 0&\zeta^{2r}&0\\ 0&0&\zeta^{4r} \end{pmatrix}, \qquad P=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}.

这里 $a$ 作用为 $D_r$ ， $b$ 作用为 $P$ 。因为 $PD_rP^{-1}=D_r^2$ 、 $D_r^7=P^3=I$ ，矩阵也独立验证了全部生成元关系。于是这些确实是三维表示。

在 $a^k$ 上取迹得

\chi_{V_r}(a^k)=\zeta^{rk}+\zeta^{2rk}+\zeta^{4rk}.

在 $a^k b$ 或 $a^k b^2$ 上，矩阵为对角矩阵乘非平凡三循环矩阵，对角项全为零，所以迹为零。 $r=1$ 给出 $(3,\alpha,\beta,0,0)$ ， $r=3$ 给出 $(3,\beta,\alpha,0,0)$ 。

为精确计算两个和，七次单位根之和给出 $\alpha+\beta=-1$ ，而取共轭把指数集合 $\{1,2,4\}$ 变成 $\{6,5,3\}$ ，故 $\beta=\overline\alpha$ 。直接展开还有

\alpha^2 =\zeta^2+\zeta^4+\zeta^8+ 2(\zeta^3+\zeta^5+\zeta^6) =\alpha+2\beta.

代入 $\beta=-1-\alpha$ 得 $\alpha^2+\alpha+2=0$ ，所以 $\alpha,\beta$ 是 $(-1\pm i\sqrt7)/2$ ，且乘积为 $2$ 。具体地，

\operatorname{Im}\alpha =\sin(2\pi/7)+\sin(3\pi/7)-\sin(\pi/7)>0,

因此正号属于 $\alpha$ 。这里用到 $\sin(2\pi/7)>\sin(\pi/7)$ ，两角都在正弦递增的第一象限，而 $\sin(3\pi/7)>0$ 。

不可约与穷尽分别怎样验证

特征标正交关系给出非零复表示不可约的判据。当前两条三维特征标均满足

\langle\rho,\rho\rangle_G =\frac{9+3|\alpha|^2+3|\beta|^2}{21} =\frac{9+6+6}{21}=1,

所以都不可约。两行在 $a$ 上取不同值，因而表示不同构。连同三个互异一维表示，我们已经构造五个不同构不可约表示；其维数平方和为

1^2+1^2+1^2+3^2+3^2=21.

正则表示的维数平方和公式排除了任何遗漏。也可用已算出的五个共轭类，结合不可约类数等于共轭类数，得到同一结论。

例如两条三维行的内积可再次复算。由于 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=-3$ ，有

\langle\rho,\overline\rho\rangle_G =\frac{9+3(\alpha^2+\beta^2)}{21}=0.

权重 $3,3$ 来自共轭类大小；忘掉这些权重或复共轭，都会改变这个检验。

七点置换表示的完整分解

把 $G$ 作用在 $\mathbb F_7$ 上：

a:x\mapsto x+1,\qquad b:x\mapsto2x.

它满足 $bab^{-1}(x)=x+2=a^2(x)$ ，所以确实给出群作用。置换表示的迹等于不动点数：单位元固定七点，非平凡平移没有不动点，而每个 $x\mapsto2^j x+i$ 、 $j=1,2$ 恰有一个不动点，因为 $1-2^j$ 可逆。其特征标为

\chi_{\mathrm{perm}}=(7,0,0,1,1) =\chi_0+\rho+\overline\rho.

等式在五列上逐项成立；特征标决定复表示的同构类型，故

\mathbb C[\mathbb F_7]\cong \mathbb C_{\mathrm{triv}}\oplus V_1\oplus V_3.

常数函数张成平凡分量，剩下六维由两个三维不可约部分组成。这给出从具体置换、固定点计数到不可约分解的可复算终点，也说明有限群的结构分析和线性表示并非两张互不相关的表。

参考资料

J. S. Milne, Group Theory，Version 4.01，2025，§5 例5.14，印刷 p.82：两个不同素数乘积阶群的半直积分类。本文专取 $3,7$ ，把作用指数和同构识别逐项算出。
Pavel Etingof 等，Introduction to Representation Theory，2011-01-10版，§3.5定理3.8，pp.37–38；§4.8定义4.28、§4.9定理4.32，pp.54–56：正交判据与诱导模型。本文的阶21共轭类、生成元矩阵、五行特征标及七点分解均由正文实际计算，不把一般定理当作已给出的特定表格。

形式陈述 ​

先从群阶证明只有两种类型 ​

手算乘法与共轭类 ​

循环类型的表示为何完全不同 ​

商群给出全部一维表示 ​

从七阶子群构造两个三维表示 ​

不可约与穷尽分别怎样验证 ​

七点置换表示的完整分解 ​

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