Schur 补与静态凝聚 | Codeboy's Blog

形式陈述

一个大型线性系统里，有些未知量只在局部发生作用，真正连接各部分的是较少的界面未知量。能否先把局部变量解掉，只留下它们对界面的影响？

将变量按内部集合 $I$ 与保留集合 $B$ 排列：

\begin{pmatrix}A_{II}&A_{IB}\\A_{BI}&A_{BB}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_I\\x_B\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b_I\\b_B\end{pmatrix}.

只要 $A_{II}$ 可逆，第一组方程给出

x_I=A_{II}^{-1}(b_I-A_{IB}x_B).

代回第二组，得到精确约化系统

Sx_B=g,\qquad S=A_{BB}-A_{BI}A_{II}^{-1}A_{IB},\qquad g=b_B-A_{BI}A_{II}^{-1}b_I.

$S$ 称为关于 $A_{II}$ 的 Schur 补。求出 $x_B$ 后，必须用第一式恢复 $x_I$ 。在有限元中，若 $I$ 是各单元内部、可局部消去的自由度，这个过程称为静态凝聚。 $B$ 是算法保留的界面，不必就是物理区域外边界。

这些逆矩阵符号表示线性求解。实际实现先分解 $A_{II}$ ，求解

A_{II}Y=A_{IB},\qquad A_{II}z=b_I,

再构造 $S=A_{BB}-A_{BI}Y$ 与 $g=b_B-A_{BI}z$ 。不需要先计算整个逆矩阵。若只需 $Sv$ ，还可以依次做 $A_{IB}v$ 、一次内部求解与 $A_{BI}$ 乘法，避免显式存储稠密的 $S$ 。

直觉

消去内部变量，不是让它们停止工作，而是让它们对每一种界面状态都立即达到平衡。原先界面节点之间可能没有直接连接，却能通过内部节点传递作用；消元后，这条间接通路变成了 $S$ 中的直接耦合。

五节点链消去两个内部点后，三个保留点得到新的有效耦合，随后回代恢复内部值 — 内部消元、界面求解与恢复

这个过程就是Gaussian 消元的分块形式。以下恒等式同时认证系数更新与变量恢复：

A= \begin{pmatrix}I&0\\A_{BI}A_{II}^{-1}&I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_{II}&0\\0&S\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I&A_{II}^{-1}A_{IB}\\0&I\end{pmatrix}.

从左到右对应消元所用的乘子、消元后的两块系统及回代耦合。直接相乘，右下块是 $A_{BI}A_{II}^{-1}A_{IB}+S=A_{BB}$ ，所以约化并未近似原矩阵。

正定性为何保留

进一步假设 $A$ 为实对称正定矩阵。固定界面向量 $y$ ，让内部向量 $z$ 自由变化。配方得到

\begin{pmatrix}z\\y\end{pmatrix}^{\!T} A\begin{pmatrix}z\\y\end{pmatrix} = (z+A_{II}^{-1}A_{IB}y)^TA_{II}(z+A_{II}^{-1}A_{IB}y) +y^TSy.

因此

y^TSy=\min_z \begin{pmatrix}z\\y\end{pmatrix}^{\!T} A\begin{pmatrix}z\\y\end{pmatrix}, \qquad z_*=-A_{II}^{-1}A_{IB}y.

若 $y\ne0$ ，完整向量 $(z_*,y)$ 非零，其能量严格为正，故 $S\succ0$ 。这既解释了正定性，也给出“内部取最小能量响应”的物理图像。带右端时，对 $\tfrac12x^TAx-b^Tx$ 做同样消元，得到 $\tfrac12x_B^TSx_B-g^Tx_B$ 加一个与 $x_B$ 无关的常数；约化右端 $g$ 因而不能省略。

例子与边界

五节点链的完整凝聚

取 $A=\operatorname{tridiag}(-1,2,-1)\in\mathbb R^{5\times5}$ ， $b=(1,1,1,1,1)^T$ ，节点编号为 $0,1,2,3,4$ 。保留 $B=(0,2,4)$ ，消去 $I=(1,3)$ 。内部两节点不直接相邻，所以 $A_{II}=2I_2$ ，两个局部求解可独立完成。

两个内部方程是

x_1=(1+x_0+x_2)/2,\qquad x_3=(1+x_2+x_4)/2.

把它们代入节点 $0,2,4$ 的方程，得到

S=\begin{pmatrix}3/2&-1/2&0\\-1/2&1&-1/2\\0&-1/2&3/2\end{pmatrix}, \qquad g=\begin{pmatrix}3/2\\2\\3/2\end{pmatrix}.

例如中间保留节点的原方程为 $-x_1+2x_2-x_3=1$ 。代入后，对角系数由 $2$ 降为 $1$ ，右端由 $1$ 增为 $2$ ；这两处改变分别记录内部的柔顺响应与内部载荷。

约化解为

x_B=(5/2,9/2,5/2)^T.

回代得 $x_1=x_3=4$ ，所以完整解是 $(5/2,4,9/2,4,5/2)^T$ 。原方程的中间一行检查为 $-4+2(9/2)-4=1$ ，端点一行为 $2(5/2)-4=1$ ，其余同样成立。

若直接删除内部行列，只解 $A_{BB}x_B=b_B$ ，因 $A_{BB}=2I_3$ 会得到 $(1/2,1/2,1/2)^T$ 。它把通过节点 $1,3$ 的耦合和载荷一并删除，已经换了问题。

可逆整体不保证所选内部块可逆

矩阵 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 可逆，但若把第一变量选作单个内部块， $A_{II}=0$ 无法求解。需要改变分块或采用合适的主元策略。正定假设能保证每个主子块正定；一般非对称或不定系统没有这项便利。

近似内部求解也会改变结论。若每次用不同容差计算 $A_{II}^{-1}v$ ，得到的“Schur 乘法”可能不再是同一个线性算子；它不应被当成已精确形成的 $S$ 。近似消元可以成为预条件技术，但应另行说明近似误差和外层求解接口。

推论与应用

若内部块为 $p\times p$ 、界面有 $m$ 个变量，按稠密运算组织，设置成本包括 $O(p^3)$ 分解、 $O(p^2m)$ 多右端求解及 $O(pm^2)$ Schur 更新；还要计入求解 $m$ 阶约化系统的成本。凝聚的收益来自许多小型独立内部块，或后续反复复用同一个约化系统，并非“变量少了就免费”。

在稀疏符号分解中，每次消去节点的 Schur 更新会把剩余邻居连接起来。嵌套剖分据此先消去互相分离的内部区域，把最终界面耦合限制在较小分隔器上。

凝聚验收至少检查三件事：约化系数与约化右端来自同一分块；恢复内部变量后原残差 $b-Ax$ 满足精度要求；显式或隐式应用 Schur 补的设置、存储和每次求解成本都有记录。

参考资料

NGSolve, “1.4 Static Condensation”, block factorization and full solution recovery：官方教程。内部自由度、凝聚右端与恢复算子。
Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed., 2003, §3.6 and Chapter 14：作者公开教材。稀疏消元与子域界面系统。

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正定性为何保留 ​

五节点链的完整凝聚 ​

可逆整体不保证所选内部块可逆 ​

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可逆整体不保证所选内部块可逆