加性 Schwarz 子域预条件器

所有子域都拿到同一时刻的残差，各自提出一份局部修正，然后一起合并。这让局部求解能够并行。若求完一个子域立即更新全局残差，再把新残差给下一个子域，得到的则是乘性 Schwarz，更新算子的顺序已经改变。

$BA$ 还能写成一组子空间投影之和：

每个 $Q_i$ 都是到子域支撑空间的 $A$-正交投影，因为 $Q_i^2=Q_i$，且 $A{Q}_i=Q_i^{T}A$。因此 $\Vert Q_i{\Vert }_A=1$，有 ${\lambda }_{max}(BA)\le s$。这个粗界足以提醒我们：正定预条件器不等于步长为一的定常迭代一定收敛。做 $x\leftarrow x+\tau B(b-Ax)$ 时，还需 $0<\tau <2/{\lambda }_{max}(BA)$。

粗空间修补的是稳定分解 ​

若每个向量都能分解为 $u=\sum _i{u}_i$，其中 $u_i$ 支撑在子域内，并满足

则 ${\lambda }_{min}(BA)\ge 1/K_0$。证明使用 $u_i=Q_i{u}_i$，再在各子域空间的直和上应用 Cauchy–Schwarz 不等式公理库Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。：

又有 $\sum _i\Vert Q_{i}u{\Vert }_A^2=(BAu,u{)}_A$，平方整理便得到下界。若一个缓慢变化的全局向量被硬切成局部片段，片段边缘可能产生较大能量，$K_0$ 因而变坏。

加入满列秩粗基矩阵 $Z$，令

便允许分解额外使用一个跨域分量。它仍正定，但良好尺度无关的条件数还需要证明合适的稳定分解与子空间相互作用界，不能只凭“加了一层”宣布获得。

取九节点链 $A=\mathrm{tridiag}(-1,2,-1)$，两个子域为 ${\mathrm{\Omega }}_1=\{0,1,2,3,4,5\}$、${\mathrm{\Omega }}_2=\{3,4,5,6,7,8\}$。每个局部矩阵都是六阶链矩阵。

对 $r=(1,\dots ,1{)}^T$，两份局部解都为 $(3,5,6,6,5,3{)}^T$。延伸相加得到

例如全局节点 $4$ 在第一子域收到 $5$，在第二子域也收到 $5$，合并为 $10$。这份结果是预条件校正，不是宣称已经精确解出全局方程。

再取一个跨域帐篷方向

有 $Ap=(0,0,0,0,2,0,0,0,0{)}^T$，且 $p^{T}Ap=10$。令 $Z=p$，粗校正为 $B_0=p{p}^T/10$，所以 $B_{0}Ap=p$。

从误差 $e=p$ 出发，以相同步长 $\tau =1/2$ 做一次校正。单层结果为

两层加性结果为

能量平方分别为

粗方向在这个例子中明显改善一步效果。不过两层加性校正并不把 $p$ 一步归零：虽然 $B_{0}Ap=p$，局部项 $BAp$ 也同时参加，不能只看粗项的精确性就忽略其余校正。步长一还可能过度修正；本例的三个投影给出 ${\lambda }_{max}(B_{2}A)\le 3$，所以 $1/2<2/3$ 是有依据的安全选择。

局部矩阵来自稀疏矩阵公理库稀疏矩阵表示与运算Sparse matrix只存非零项及其位置，以稀疏模式组织矩阵运算、图结构、重排序与填充成本。的索引限制，可以预先分解并复用。若每个子域又有内部与界面变量，可用静态凝聚公理库Schur 补与静态凝聚Schur complement · Static condensation把内部变量的精确响应折入界面矩阵与右端，推导 Schur 补、恢复公式及最小能量性质，并逐项凝聚五节点链。减少局部解的内部工作；这不改变加性组合要求所有子域使用同一输入残差。

一次应用成本是各局部求解成本之和，加上限制与重叠求和的索引工作；并行墙钟时间还受最大局部问题、通信和归约影响。增大重叠通常改善局部信息传播，却增加重复计算、存储与通信，应按总成本取舍。

只把局部解的一部分延伸回全局的 restricted 变体，或在输出端单独加权，可能失去对称性。它们有各自的算法用途，但不自动继承本页的正定证明。要用于标准 PCG，设置和每次应用都须保持同一个线性、自伴、正定算子。