不完全 Cholesky 预条件器

精确符号消元公理库稀疏 Cholesky 的消元图与符号分解Symbolic Cholesky factorization从逐点邻居补团预测 Cholesky 因子位置，证明路径判据，比较两种完整消元次序，并区分结构非零和数值相消。允许剩余邻居补成团。不完全分解在其中插入一条不同规则：某些新耦合即使会出现，也不为它保留因子位置。省掉的并非无用零，而是有意舍弃的数值作用。

成功完成后，$M$ 必正定，因为非零 $v$ 满足

不过这里的“成功”不能由 $A\succ 0$ 自动推出。精确 Cholesky 的每个主元来自真正的正定 Schur 补；丢弃更新以后，正在分解的矩阵已不再是那个 Schur 补，原证明失去了前提。

保留位置上，递推使 $M_{ij}=A_{ij}$，包括全部对角位置；模式外则一般不相等。这个逐位置约束不意味着 $M$ 在任何矩阵范数下都是最佳近似，也不保证迭代次数必然减少。

九节点网格中的第一次丢弃 ​

取三乘三内部网格，按行编号 $0,\dots ,8$，矩阵对角为 $4$，水平与竖直邻接项为 $-1$，其余为零。消去节点 $0$ 时，后继邻居为 $1,3$。精确更新会产生

IC(0) 不允许位置 $(3,1)$，于是拒绝这一更新；对角更新仍然保留。因此 $d_0=4$，${\hat{l}}_{10}={\hat{l}}_{30}=-1/4$，接下来的 $d_1=d_3=15/4$。这也意味着重构矩阵的 $M_{31}=1/4$，故 $(A-M{)}_{31}=-1/4$，明确显示了近似误差落在哪里。

完整九个主元依次为

均为正，设置成功。对 $b=(1,2,3,1,2,3,1,2,3{)}^T$、$x_0=0$，比较原残差的 Euclidean 范数：

绝对残差阈值 ${10}^{-4}$ 下，预条件版本四步达标，普通版本需五步。本例还保留一个容易忽视的区别：精确分数算术中，普通 CG 恰好五步终止，而 IC(0) 版本恰好七步才达到严格零残差。预条件打破了一些原有谱重合；“较早达到实际容差”与“更少步精确终止”不是同一句话。

正定输入也能发生精确 breakdown ​

取

写作 $A=I+(3/5)C$，其中 $C^2=2I$。因此特征值为 $1\pm 3\sqrt{2}/5$，全都严格为正。

精确分解的 $D$ 为 $(1,16/25,7/16,7/25)$。IC(0) 则把位置 $(3,1)$ 固定为零，前三个主元仍相同，但随后

这是精确负数，与浮点舍入无关。若改为对 $A+\frac{1}{5}I$ 构造 IC(0)，主元成为 $(6/5,9/10,4/5,9/20)$，全部为正。移位修复改变的是预条件器，外层仍求解原来的 $Ax=b$；它不是把原问题也悄悄替换成移位系统。

固定成功因子给出的 $M^{-1}$ 是线性、自伴、正定算子，可接入标准 PCG公理库预条件共轭梯度法Preconditioned conjugate gradient method · PCG · 预条件共轭梯度从固定正定预条件器的对称坐标变换推导 PCG，以加权残差生成共轭方向，并用三步算例区分能量收敛、原残差与总成本。。若迭代中重建模式、改变移位或使用输入相关的内层停止规则，就需要重新核对外层算法允许的接口。

设允许模式每列下方有 $d_j$ 项，因子存储为 $O(n+\sum _j{d}_j)$，每次应用同阶。设置需要计算保留位置的内积交集；用右看式邻居对更新及平均常数时间模式查询，可以用 $O(\sum _j(d_j+1{)}^2)$ 作为算术和查询上界。设置不能无条件只写成与非零数成正比。

加入填充、改变排列或使用对角移位，会同时改变稳定性、近似质量和成本。比较时应报告失败状态、设置时间、因子大小、原残差达标步数及总时间。某些具有额外符号和占优结构的矩阵可保证不完全分解存在；一般正定矩阵则必须保留实际主元检查。