主矩阵函数与 Hermite 插值

形式陈述

把标量函数 $f$ 作用在矩阵上，不能逐项计算 $f(a_{ij})$ 。我们希望保留多项式的代入规则，也希望在矩阵缺少特征向量时， $f(A)$ 仍有明确含义。这需要在特征值处知道多少信息？

设 $n\ge1$ ， $A\in\mathbb C^{n\times n}$ 的极小多项式为

m_A(t)=\prod_{i=1}^r(t-\lambda_i)^{\nu_i},\qquad d=\sum_i\nu_i.

不同的 $\lambda_i$ 两两不同。对每个 $i$ ，给定 $f^{(j)}(\lambda_i)$ ，其中 $0\le j<\nu_i$ 。在函数有多个分支时，同一个特征值的所有 Jordan 块采用同一组分支数据。存在唯一的次数小于 $d$ 的多项式 $p$ 满足

p^{(j)}(\lambda_i)=f^{(j)}(\lambda_i),\qquad 0\le j<\nu_i.

定义 primary 矩阵函数 为 $f(A)=p(A)$ 。中文常译“主矩阵函数”；这里的 primary 指同一特征值统一选择分支，不能与 principal 所指的“指定主值分支”混为一谈。主矩阵对数中的“主”是后一个意思。

为什么插值多项式存在且唯一

考虑从次数小于 $d$ 的多项式空间到 $d$ 个插值数据的线性映射。若一个多项式的这些值全部为零，它就在每个 $\lambda_i$ 处至少有 $\nu_i$ 重零点，因此能被 $m_A$ 整除。其次数小于 $d$ ，只能是零多项式。映射的核为零，而定义域、值域维数相同，秩–零化度定理便给出满射性，故映射可逆。这是带重节点的 Hermite 插值；当各 $\nu_i=1$ 时，才退回互异节点的普通插值。

即使使用次数更高、满足同样数据的多项式 $q$ ，差 $q-p$ 也能被 $m_A$ 整除，所以 $q(A)=p(A)$ 。定义取决于函数在谱上的有限组数据，不取决于插值表达式如何书写。

Jordan 公式解释导数的角色

在Jordan 标准形的一个块 $J=\lambda I+N$ 上，若块长为 $k$ ，则 $N^k=0$ ，因而

f(J)=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{f^{(j)}(\lambda)}{j!}N^j.

最大块长恰好是 $\nu_i$ 。因此上面的插值定义与逐 Jordan 块定义一致，而且只需要最大块长减一阶的导数。Jordan 形在这里用于说明定义；实际数值计算通常采用酉 Schur 变换，避免把不稳定的数值 Jordan 分解当作前处理。

直觉

对角矩阵像彼此独立的刻度：每个刻度只需要一个函数值。Jordan 块还带着沿广义特征向量链向前传递的连接，第一条连接读取一阶导数，第二条读取二阶导数，以此类推。只告诉矩阵“ $f(2)$ 是多少”，不能回答它“沿着 $2$ 附近移动时变化多快”。

图中同为特征值 $2$ 的两个对角位置读取相同的 $f(2)$ ，它们之间的超对角位置读取 $f'(2)$ 。右侧的特征值 $5$ 只读取 $f(5)$ 。三份数据已经足够，无须知道整个函数曲线。

把坐标换成 $B=SAS^{-1}$ 时，多项式代入给出 $f(B)=Sf(A)S^{-1}$ 。这是矩阵函数应有的坐标一致性。逐元素作用一般没有这一性质。

例子与边界

三份数据决定一个二次多项式

取

A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&5\end{pmatrix},\qquad m_A(t)=(t-2)^2(t-5).

记 $a=f(2)$ 、 $b=f'(2)$ 、 $c=f(5)$ 。先满足 $2$ 处两项要求，再修正 $5$ 处的值：

p(t)=a+b(t-2)+\frac{c-a-3b}{9}(t-2)^2.

直接代入矩阵得到

f(A)=\begin{pmatrix}a&b&0\\0&a&0\\0&0&c\end{pmatrix}.

令 $f(t)=1/t$ ，所需数据为 $a=1/2$ 、 $b=-1/4$ 、 $c=1/5$ 。于是

p(t)=\frac65-\frac9{20}t+\frac1{20}t^2,\qquad p(A)=\begin{pmatrix}1/2&-1/4&0\\0&1/2&0\\0&0&1/5\end{pmatrix}=A^{-1}.

若只插值两个函数值，得到直线 $q(t)=7/10-t/10$ 。它的两个对角值完全正确，超对角却是 $-1/10$ ，并且 $Aq(A)$ 的 $(1,2)$ 元为 $3/10$ ，不是单位矩阵。这是漏掉导数后可直接检出的错误。

primary 不等于 principal

$\operatorname{diag}(2,-3)$ 是 $\operatorname{diag}(4,9)$ 的一个 primary 平方根：可以在两个不同特征值附近分别选正、负平方根，并由多项式插值实现。但它不是主值平方根，后者是 $\operatorname{diag}(2,3)$ 。

另看 $A=I_2$ 。矩阵 $R=\operatorname{diag}(1,-1)$ 满足 $R^2=A$ ，却不是 $A$ 的 primary 平方根。任何多项式 $p(I_2)$ 都等于标量矩阵 $p(1)I_2$ ，不可能得到 $R$ 。此处在同一个特征值的两个块上选了不同分支。

固定矩阵的定义与邻域内的分析

定义一个固定 $A$ 的 $f(A)$ ，有限组插值数据就够了。要研究 $A+E$ 附近的连续性、导数或稳定算法，通常进一步要求 $f$ 在谱的某个开邻域解析。矩阵稍作扰动后，特征值可能移出原来的有限集合，单独给几个数已不能决定邻域内行为。

推论与应用

由于 $f(A)$ 是 $A$ 的多项式，它与 $A$ 交换，并保持 $A$ 的每个不变子空间。若 $f,g$ 在同一谱邻域使用兼容的函数分支，插值的乘积法则给出 $(fg)(A)=f(A)g(A)$ 。这些关系支持矩阵指数的微分方程表示，也使三角矩阵函数可以由块递推恢复。

有限维定义还指出数值算法的目标：应当计算由函数值和导数共同确定的矩阵，而非仅把特征值送进函数。Schur–Parlett 算法会将接近的特征值合在一个块内，让这些导数信息以局部展开的形式出现；矩阵函数的 Fréchet 导数则继续研究输入矩阵变化时的线性响应。

参考资料

Nicholas J. Higham, “Functions of Matrices,” Handbook of Linear Algebra, 2nd ed., 2014, §17.1：Jordan、Hermite 与 primary 矩阵函数的等价定义。作者版本
Nicholas J. Higham and Lijing Lin, Matrix Functions: A Short Course, 2013, §§3.1.1–3.1.6：重复特征值的导数条件，以及 primary、nonprimary 和 principal 的区别。作者版本

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Jordan 公式解释导数的角色 ​

三份数据决定一个二次多项式 ​

primary 不等于 principal ​

固定矩阵的定义与邻域内的分析 ​

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