主矩阵对数与逆缩放平方

形式陈述

矩阵方程 $e^X=A$ 可能有许多解。怎样选出一个可连续计算的对数，并说明何时不能这样选？

设 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ 的谱不与闭负实轴 $(-\infty,0]$ 相交。把标量主值对数作用为 primary 矩阵函数，得到 主矩阵对数 $\operatorname{Log}A$ 。它满足

e^{\operatorname{Log}A}=A,\qquad \sigma(\operatorname{Log}A)\subset\{z:-\pi<\operatorname{Im}z<\pi\}.

它是谱位于这个开条带内的唯一矩阵对数。如果 $A$ 为实矩阵， $\operatorname{Log}A$ 也为实矩阵。

存在性来自标量主值的解析函数演算。若另一矩阵 $X$ 的谱在条带内且 $e^X=A$ ，标量恒等式 $\operatorname{Log}(e^z)=z$ 在该条带解析成立，代入矩阵得 $\operatorname{Log}(e^X)=X$ ，故 $X=\operatorname{Log}A$ 。实矩阵结论则由复共轭与唯一性得到。

逆缩放平方的计算路线

先取若干次主平方根

B=A^{1/2^s},\qquad X=B-I.

主分支保证 $\operatorname{Log}A=2^s\operatorname{Log}B$ 。当 $X$ 足够小时，使用积分表示

\operatorname{Log}(I+X)=\int_0^1X(I+tX)^{-1}\,dt.

以 $m\ge1$ 点 Gauss–Legendre 求积的节点 $t_j$ 、权重 $w_j$ 近似，得到一个 Padé 有理函数：

\operatorname{Log}A\approx2^s\sum_{j=1}^m w_j X(I+t_jX)^{-1}.

每项通过多右端线性求解计算。实践中先作 Schur 分解，对三角矩阵重复开方和求解，再映回原坐标，能利用三角结构。

一个明确但保守的截断界

若在相容范数下 $r=\|X\|<1$ ，展开积分中的 resolvent。 $m$ 点 Gauss–Legendre 对次数不超过 $2m-1$ 的多项式精确，所以前 $2m$ 项矩阵幂的系数一致。利用权重为正且总和为一，可得

\left\|\operatorname{Log}A-2^s\sum_{j=1}^m w_j X(I+t_jX)^{-1}\right\| \le 2^s\frac{2r^{2m+1}}{1-r}.

这是精确平方根、精确求解前提下的逼近截断界，不包含浮点开方误差。高效实现通常用更紧的幂范数后向误差界选择 $s,m$ 。

直觉

指数算法先缩小输入再反复平方；对数算法先对输入反复开方，使它靠近单位矩阵，最后把一个小对数放大 $2^s$ 倍。每次必须沿同一主分支前进，否则“开方后再乘二”可能跳到另一个对数。

图的上部用复数 $e^{i\theta}$ 标记旋转参数，并标出对应的主矩阵对数；负实轴是分支边界。中部展示正谱矩阵反复开方，特征值逐渐靠近 $1$ 。靠近单位阵便于逼近，也可能使 $B-I$ 的直接相减丢失精度，缩放次数需要有节制。

例子与边界

旋转跨过 $\pi$ 时会发生什么

记 $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ ， $R(\theta)=e^{\theta J}$ 。当 $-\pi<\theta<\pi$ 时， $\operatorname{Log}R(\theta)=\theta J$ 。当 $\pi<\theta<3\pi$ 时，主值角要减去 $2\pi$ ，所以主对数变成 $(\theta-2\pi)J$ 。

令 $\theta$ 从两侧趋于 $\pi$ ，两个极限分别是 $\pi J$ 和 $-\pi J$ 。在 $\theta=\pi$ ，矩阵等于 $-I$ ，其谱落在切线上，主对数不定义；但它确实有实对数 $\pi J$ 。“没有主对数”不等于“没有任何对数”。

类似地， $e^{2\pi J}=I$ ，而 $\operatorname{Log}I=0$ 。因此 $\operatorname{Log}(e^X)=X$ 必须附带谱位于主值条带的条件。

两次开方，再做三点有理逼近

取

A=\begin{pmatrix}4&6\\0&9\end{pmatrix},\qquad \operatorname{Log}A= \begin{pmatrix}\log4&\frac65\log(9/4)\\0&\log9\end{pmatrix}.

第一次主平方根是 $B_1=\begin{pmatrix}2&6/5\\0&3\end{pmatrix}$ 。第二次为

B_2=\begin{pmatrix}\sqrt2&\dfrac{6/5}{\sqrt2+\sqrt3}\\0&\sqrt3\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}1.41421356&0.38140469\\0&1.73205081\end{pmatrix}.

令 $X=B_2-I$ 。三点 Gauss–Legendre 节点为 $(1-\sqrt{3/5})/2,1/2,(1+\sqrt{3/5})/2$ ，对应权重 $5/18,4/9,5/18$ 。三次求解后乘以 $4$ ，得到

L\approx\begin{pmatrix}1.38629352&0.97309258\\0&2.19720400\end{pmatrix}.

它与精确对数的 $1$ -范数误差约为 $4.42\times10^{-5}$ 。这里 $\|B_2-I\|_1\approx1.11346>1$ ，不能套用上面的范数截断界；例子只是执行示范。

继续到四次开方，得到 $r\approx0.21523664$ 。使用十点求积，保守截断界降至 $4.00\times10^{-13}$ 以下；附带脚本还与八十位精度的主对数交叉核验。这个组合的求值核心是四次三角平方根与十次多右端求解。

接近单位阵时要防止相减损失

过多开方会让 $B$ 极接近 $I$ ，而开方阶段的小误差在 $2^s(B-I)$ 中被放大。标量中可用 $\sqrt a-1=(a-1)/(\sqrt a+1)$ 减少相消；成熟三角算法还会从原始数据重算对角和第一超对角的关键条目。上面的教学核展示流程和截断界，没有实现全部这些精度修正。

推论与应用

三角平方根由 $R^2=T$ 的递推得到： $r_{ii}=\sqrt{t_{ii}}$ ，按超对角推进时

(r_{ii}+r_{jj})r_{ij}=t_{ij}-\sum_{i<k<j}r_{ik}r_{kj}.

主根保证分母不为零。块版本对应 Sylvester 方程，也说明分支条件为何进入算法本身。稠密 Schur 路线的总成本约为 $O((1+s+m)n^3)$ ，存储 $O(n^2)$ 。

对数常用于从一步传播矩阵恢复连续生成元，但多值性意味着必须明确所选分支。验算 $e^L\approx A$ 只能验证“某个对数”；要接受主对数，还应检查 $L$ 的谱虚部在 $(-\pi,\pi)$ ，并注意输入谱接近切线时的敏感性。

参考资料

Nicholas J. Higham and Lijing Lin, Matrix Functions: A Short Course, 2013, §3.1.6：主对数的存在、谱条带及实矩阵性质。作者版本
Awad H. Al-Mohy and Nicholas J. Higham, “Improved Inverse Scaling and Squaring Algorithms for the Matrix Logarithm,” SIAM Journal on Scientific Computing 34(4), 2012, pp. C153–C169, §§1–4：Gauss–Legendre 部分分式、后向误差、相消修正和 Schur 算法。作者版本

形式陈述 ​

逆缩放平方的计算路线 ​

一个明确但保守的截断界 ​

旋转跨过 π 时会发生什么 ​

两次开方，再做三点有理逼近 ​

接近单位阵时要防止相减损失 ​

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