矩阵函数的 Fréchet 导数

在 $A^k$ 的一阶变化中，扰动 $E$ 可以占据 $k$ 个因子位置中的任意一个。其左边、右边保留不同数量的 $A$。标量乘法可以交换，所有位置给出同一项；矩阵乘法不能交换，这些位置必须分别保留。

对指数，有更紧凑的连续表达：

扰动在演化的不同时间进入，再由左右两段传播。若 $A$ 与 $E$ 交换，才可以把被积式化成 $e^{A}E$。

图中上下两个非对角方向得到相同的差商，而直接左乘 $e^A$ 会给它们不同的系数。这是一次足以看出非交换性的两维试验。

两个非对角位置都等于 $e-1$ ​

取

积分的 $(1,2)$ 元为 ${\int }_0^1{e}^{s}ds=e-1$；$(2,1)$ 元为 ${\int }_0^1{e}^{1-s}ds=e-1$。故

而 $e^{A}E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ e& 0\end{array}\right)$，两个非对角元素都错。把 $A,E$ 放进上面的 $4\times 4$ 块指数，右上块恰能再次验证这个结果。

一般地，对对角矩阵 $A=\mathrm{diag}({\lambda }_i)$，有

重复特征值对应差商的连续极限，导数再次出现。数值上，两特征值很近时也不应直接相减再除以一个很小的数。

对上述指数例，四个 Frobenius 正交坐标方向上的增益分别是 $1,e-1,e-1,e$，所以 $\Vert L_{\exp }(A){\Vert }_{F\to F}=e$，相对条件数为 $e/\sqrt{1+e^2}$。这个数描述所有单位扰动方向中的最坏增益，不只描述我们挑出的非对角 $E$。

平方根的导数化为矩阵方程 ​

设 $S=A^{1/2}$ 为主平方根，其谱实部为正。对 $S^2=A$ 求一阶变化，得到

这是系数对 $(S,-S)$ 的 Sylvester 方程公理库Sylvester 方程与谱分离Sylvester equation刻画 AX−XB=C 对所有右端唯一可解的充要条件，并用非正规矩阵说明特征值间距不能代替 sep 敏感性。。两谱位于不同的开半平面，故 $L$ 唯一。若 $S=\mathrm{diag}(2,3)$，则

标量公式 $E/(2\sqrt{A})$ 若按单侧矩阵乘法解释，会把非对角除数错误地写成 $4$ 或 $6$，而正确值是左右两个根之和 $5$。

有限差分是核验工具，步长要有尺度 ​

中心差分 $[f(A+hE)-f(A-hE)]/(2h)$ 在精确运算下具有二阶截断误差。但浮点中两次函数值相减会放大求值误差，$h$ 过小反而不准确。可用一组递减步长观察二阶区间，再与块恒等式或 Sylvester 解交叉核验，不能以某一个极小步长的结果充当真值。

导数把两类问题连在一起。一方面，它给灵敏度和梯度提供数学目标；另一方面，它解释数值结果为何可能有小后向误差却较大的前向误差：输入误差经过 $L_f(A)$ 放大。

对一个特定实现做自动微分，得到的是该实现计算路径的导数近似。它是否准确代表 $L_f(A,E)$，还取决于原算法的稳定性、分支判定和停止规则。块恒等式提供独立核验入口，Sylvester 求解公理库Bartels–Stewart 矩阵方程算法Bartels–Stewart algorithm用 Schur 变换、从左下开始的块回代及坐标恢复求解矩阵方程，明确实二阶块、缩放输出、执行不变量和立方级成本。则使平方根等函数的导数无需重新解整个非线性问题。