Sylvester 方程与谱分离

在 $A,B$ 都对角的情形，每个未知元素都被乘以一个特征值差：

如果差为零，那个方向的信息完全消失；如果差很小，恢复信息就要大幅放大右端。一般矩阵还会把各方向混合，混合本身也可能造成抵消。sep 寻找的是“哪一个整块矩阵方向最容易被两侧作用抵消”，不只比较谱图上两个点的距离。

若 $A,B$ 都正规，可以分别酉对角化，而 Frobenius 范数不变。这时确有

离开正规条件，右边不再是可靠的替代量。

先解一个完全分离的网格 ​

取 $A=\mathrm{diag}(1,3)$、$B=\mathrm{diag}(-1,2)$ 和

四个除数依次是 $2,-1,4,1$，所以

代回第一行第二列：$1\cdot 1-1\cdot 2=-1$，与 $C$ 相符。这里 $\mathrm{sep}(A,B)=1$。

特征值离零至少为一，解却随参数增长 ​

取

两谱距离一直是 $1$，但方程就是 $A_{M}X=C$，其解为

单位右端产生约为 $|M|/2$ 的解。此时 sep 等于 $A_M$ 的最小奇异值。记 $q=M^2+5$，由 $A_M^{\ast }{A}_M$ 的迹为 $q$、行列式为 $4$，可得

$M=100$ 时，sep 约为 $0.019995$，而最近特征值距离仍是 $1$。上三角的大非对角项把两个方向的作用近乎抵消了。

共有特征值：无解和多解都可能 ​

令 $A=\mathrm{diag}(1,2)$、$B=(1)$。方程成为 $0\cdot x_1=c_1$、$x_2=c_2$。右端 $(1,0{)}^T$ 无解；右端 $(0,1{)}^T$ 则有所有 $(t,1{)}^T$ 作为解。这里不能用一个“除以很小的数”的技巧修补不可解性。

系数也发生扰动时 ​

固定 $\mathrm{sep}(A,B)>0$ 及其唯一解 $X$，以 $\eta =\Vert \mathrm{\Delta }A{\Vert }_F+\Vert \mathrm{\Delta }B{\Vert }_F+\Vert \mathrm{\Delta }C{\Vert }_F$ 衡量输入扰动，并取 $\eta \to 0$。当 $\Vert \mathrm{\Delta }A{\Vert }_F+\Vert \mathrm{\Delta }B{\Vert }_F<\mathrm{sep}(A,B)/2$ 时，扰动后的 Sylvester 算子仍可逆，逆算子范数至多为 $2/\mathrm{sep}(A,B)$。因此扰动方程

的唯一解满足 $\Vert \mathrm{\Delta }X{\Vert }_F=O(\eta )$；这里固定基点矩阵与 $X$，常数可以依赖它们。展开方程后，遗漏的双线性项为 $-\mathrm{\Delta }A\mathrm{\Delta }X+\mathrm{\Delta }X\mathrm{\Delta }B$，其范数为 $O({\eta }^2)$，所以

因此输入系数误差同样经过 $1/\mathrm{sep}(A,B)$ 放大。右端残差是一个可计算指标，输入敏感性是问题本身的性质，两者承担不同角色。

直接向量化会形成 $mn\times mn$ 的系数矩阵；Bartels–Stewart 算法公理库Bartels–Stewart 矩阵方程算法Bartels–Stewart algorithm用 Schur 变换、从左下开始的块回代及坐标恢复求解矩阵方程，明确实二阶块、缩放输出、执行不变量和立方级成本。保留两侧乘法结构，通过两个 Schur 分解和块回代求解，避免把矩阵方程当作毫无结构的大系统。

在矩阵平方根 $S^2=A$ 附近，扰动的一阶项满足 $S\mathrm{\Delta }S+\mathrm{\Delta }SS=\mathrm{\Delta }A$，即系数对为 $(S,-S)$ 的 Sylvester 方程。因此 $\mathrm{sep}(S,-S)$ 控制平方根的局部敏感性。另一个重要场景是 Schur–Parlett 算法公理库Schur–Parlett 矩阵函数算法Schur–Parlett algorithm从 TF=FT 推导块 Parlett 递推，把接近特征值留在同一块内，以局部函数求值和 Sylvester 方程恢复整个矩阵函数。：已知对角块上的函数后，块间耦合正是由 Sylvester 方程恢复的。