线搜索的 Wolfe 条件

只要求函数值比起点低，会接受极小步长，算法看似每轮成功却几乎不动。Armijo 条件排除“下降太少相对于步长”的候选，但对趋零步长仍可能成立；曲率条件进一步要求沿当前方向的负斜率已经显著变平，说明这一步真正消耗了可用下降。两者把过大与过小步长夹在一个可接受区间内。

强曲率条件关注方向导数绝对值，因此不会接受越过谷底太远、斜率已变成很大正数的点。弱条件则允许一定的正斜率，只保证它不再像起点那样负。拟 Newton 分析特别需要的是位移 $s_k$ 与梯度差 $y_k$ 的正曲率内积；弱 Wolfe 已足以给出它，强 Wolfe 主要增强实际线搜索的控制。常数常取 $c_1$ 很小、$c_2$ 接近一，但它们不是无关紧要的装饰。

令 $f(x)=x^2/2$，在 $x_k=1$ 取方向 $p_k=-1$，并设 $c_1=0.1,c_2=0.9$。此时

Armijo 条件化为

弱曲率要求 $\alpha -1\ge -0.9$，即 $\alpha \ge 0.1$；强曲率给 $|\alpha -1|\le 0.9$，再与 Armijo 相交仍得 $[0.1,1.8]$。$\alpha =1$ 一步到极小点；$\alpha =0.05$ 虽通过 Armijo，却因仍太陡而被曲率条件拒绝；$\alpha =1.85$ 的斜率绝对值尚可，却因函数下降不足被 Armijo 拒绝。每项条件都排除了另一项放过的真实候选。

若 $p_k$ 不是下降方向，右侧线性模型没有下降空间，标准存在性定理不适用。若沿射线函数不下有界、梯度不连续、目标不可微，或求值返回 NaN，也可能找不到 Wolfe 步。有限预算内失败应显式返回，而不是静默接受最后一次试探。噪声函数与梯度还会让两项不等式互相矛盾，需要带容差的随机线搜索理论，不能直接降低精度继续套确定性证明。

记

弱 Wolfe 曲率条件给

这条严格正性使BFGS 更新公理库BFGS 更新BFGS update · Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno update以满足割线方程的对称秩二修正更新 Hessian 或逆 Hessian 正定近似。的分母有效并保持正定近似。对拟 Newton 法公理库拟 Newton 法Quasi-Newton method · Variable metric method由相邻梯度差逐步近似 Hessian 或其逆，从而构造曲率缩放搜索方向的方法族。，线搜索还提供全局化外壳：远离解时控制下降，接近解且完整步被接受后，局部割线近似才有机会表现超线性速度。

当 $f$ 沿方向连续可微、$p_k$ 为下降方向且 $f$ 沿正射线有下界时，可证明存在满足弱 Wolfe 的区间。这个存在性结论不等于任意实现都能在有限求值内找到它；插值失准、浮点舍入或错误梯度都能造成失败。实际日志至少应保留函数/梯度求值次数、最终括区间、验收残差与失败原因，才能区分目标问题和搜索器问题。