中心幂等元与代数块

普通幂等元把一个线性过程投影到某个方向；中心性进一步要求这个投影与代数中的每个操作都相容。于是任意操作都无法把一个块的向量搬到另一个块。代数乘积表达的正是这种彻底分离。

仅有正交幂等元之和为1，还可能存在块间“通道”。这些通道由 $eA(1-e)$ 和 $(1-e)Ae$ 记录。中心性使两者都为零，乘积才真正成立。

矩阵的列分解不是代数的乘积分解 ​

在 $M_2(k)$ 中取 $e=e_{11}$。它是幂等元，但

所以不中心。确实，

将一个矩阵送到两块对角角落 $(eae,(1-e)a(1-e))$ 会丢掉非对角项，而且不保持乘法：$e_{12}$ 与 $e_{21}$ 的两个对角角落都为零，乘积 $e_{11}$ 的对角角落却非零。

作为左模仍有直和公理库直和Direct sum · Internal direct sum把对象组织为来自指定分量的唯一有限和；向量空间的内直和对应求和映射单射，外直和保留分量标签。

这只是两列组成的模分解，不是两个代数的乘积。事实上 $M_2(k)$ 的中心只有标量矩阵，其中心幂等元仅0、1，所以它只有一个块。

上三角代数有两个单模，却只有一个块 ​

令 $T=T_2(k)$。若 $z=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)$ 在中心，先与 $e_{11}$ 交换得到 $b=0$，再与 $e_{12}$ 交换得到 $a=c$。所以 $Z(T)=kI$，仍只有0、1两个中心幂等元。

因此 $T$ 只有一个块，尽管它有两个不同单模。非对角元 $e_{12}$ 正是连接它们的操作。把 $T$ 的根商成零以后，$T/J(T)\cong k\times k$ 才变成两个半单块；这里 $J(T)=k{e}_{12}$ 是其Jacobson 根公理库有限维代数的 Jacobson 根Jacobson radical of a finite-dimensional algebra将所有单模看不见的操作组成Jacobson根，用组成列证明幂零性，并在上三角代数中逐次计算其幂。。原代数的分块与其半单商的分块不必相同。

一个真正的双块代数 ​

在 $A=k\times M_2(k)$ 中，

都是中心幂等元，且 $e+f=1$。式 (1) 恢复原来的两个因子。$f$ 在中心内不可再拆，却可在全代数内写成

两项不是中心元素。这给出了两种“本原”必须分开的具体原因。

分块同构的证明 ​

若 $e$ 中心，任意交叉乘积满足

因此加法逆映射保持乘法，式 (1) 是同构。反过来，任何乘积分解 $A\cong B\times C$ 中的 $(1_B,0)$ 都拉回为中心幂等元。故非平凡代数乘积分解与非平凡中心幂等元一一对应。

有限维保证反复拆分最终停止：每次将一个非零块拆成两个非零块，都使非零直和项数增加，而这个数不能超过 ${\dim }_{k}A$。

唯一性也能直接检查。若 $1=\sum _i{e}_i=\sum _j{f}_j$ 是两套本原中心分解，则

右侧是正交中心幂等元之和。本原性迫使恰有一项非零，且等于 $e_i$。再对相应 $f_j$ 使用同样论证，得到 $e_i=f_j$。所以两套分块仅相差顺序。

每个模自动按同一套块分开 ​

对任意左 $A$-模 $M$，中心性保证每个 $e_{i}M$ 是子模，并且

若 $M=e_{i}M$、$N=e_{j}N$ 且 $i\ne j$，则任何模同态 $h:M\to N$ 满足

不同块之间没有非零同态。其间的短正合列也自动分裂：应用中心投影就能将两个块的部分分别提取出来。

若 $A$ 半单公理库半单模Semisimple module · Completely reducible module用R-线性投影和有限增大过程证明半单模的补模刻画，比较矩阵列分解与双数环的不分裂理想。，Artin–Wedderburn 定理公理库Artin–Wedderburn 结构定理Artin–Wedderburn theorem · Wedderburn–Artin theorem由正则模的端同态环证明矩阵除代数分块，并显式构造实群代数R[C3]与R×C的同构。说明每个块是一个矩阵除代数，并且恰有一种单模。一般代数则可能像 $T_2(k)$ 那样，在同一块中包含不同单模以及非分裂扩张。

自检：给 $T_2(k)$ 的两个对角幂等元 $e,f$，算四个角落。答案为

只要中间那条非零通道仍在，便不能把 $T$ 误写成 $k\times k$。