Nielsen 纯态纠缠转换定理

Schmidt 概率描述双方纯态中不可由本地换基消除的纠缠资源。均匀向量对应最大纠缠，$(1,0,\dots )$ 对应乘积态。LOCC 可以消耗纠缠，把均匀资源变得集中，却不能确定地反向创造资源。

主序为什么产生一个协议 ​

主序的等价形式是 $\lambda =\sum _j{p}_j{P}_j\mu$，其中 $P_j$ 为置换矩阵。先将两态用本地酉变换写到共同 Schmidt 基。Alice 使用对角测量，其第 $j$ 个算子在 ${\lambda }_i>0$ 的支撑上为

由上式的凸组合，$\sum _j{A}_j^{†}{A}_j=I$ 在输入支撑上成立；零系数部分可补成合法测量。分支 $j$ 产生 Schmidt 概率为 $P_j\mu$ 的态，双方按 Alice 通知的 $j$ 作相同置换校正，所有分支都到目标态。

反向证明使用 Schmidt 向量尾和的平均单调性：局部测量不能使每个尾和对应的纠缠量在平均上增加。确定输出同一目标态时，这些平均约束逐一变成上述前缀不等式。只检查熵这一种单调量，会漏掉其他前缀约束。

Bell 态变成非最大纠缠态 ​

从 $\lambda =(1/2,1/2)$ 到 $\mu =(0.8,0.2)$，唯一非平凡检查为 $0.5\le 0.8$，所以可行。Alice 可取

两算子平方和为 $I$，每个结果概率为 $1/2$。结果 $0$ 已得到 $\sqrt{0.8}|00⟩+\sqrt{0.2}|11⟩$；结果 $1$ 后双方各施加 $X$ 即得到相同目标。反向要求 $0.8\le 0.5$，所以确定转换不可能。

有些纯态互相不能转换 ​

取 $\lambda =(0.5,0.25,0.25)$、$\mu =(0.45,0.4,0.15)$。$\lambda \prec \mu$ 在第一个前缀失败，因为 $0.5>0.45$；$\mu \prec \lambda$ 在第二个前缀失败，因为 $0.85>0.75$。因此两态不可比较，不能用一个标量给所有单次纯态转换排成全序。

本定理不直接判断混态转换、允许失败的概率性转换或催化辅助态的转换。多副本近似转换则可出现由纠缠熵决定的渐近率，这与单副本精确主序条件是不同极限。

已知 Schmidt 系数后，排序花 $O(d\log d)$，扫描前缀和花 $O(d)$，便可判定能否转换。实际构造测量还需要一个主序凸分解，判定条件与完整实现的工作量应分开。