正部分转置判据

完整转置保持正性，但只对纠缠整体的一半转置，可能产生负特征值。这个变换是数学检测工具，不是可直接施加给任意量子态的物理信道。负特征值揭示的是输入相关性，输出“矩阵”本身不再是合法状态。

必要性的一行证明 ​

若 $\rho =\sum _j{p}_j{\rho }_A^j\otimes {\rho }_B^j$ 可分，则

因为转置仍保持每个局部正矩阵的正性，张量积及非负加权和也保持正性。反过来在低维成立，需要正映射结构定理；单靠这行计算不能推出一般维数的充分性。

带白噪声 Bell 态的阈值 ​

令 $0\le p\le 1$，

在基顺序 $00,01,10,11$ 下，部分转置把原本位于角落的非对角元搬到中央：

两个单独坐标给特征值 $(1+p)/4$；中央块在对称、反对称向量上分别给 $(1+p)/4$ 与 $(1-3p)/4$。所以三个特征值相同且为正，唯一可能变负的是最后一个。

由二比特的充分性，$p\le 1/3$ 时可分，$p>1/3$ 时纠缠。例如 $p=1/2$ 时谱为 $(3/8,3/8,3/8,-1/8)$，负值已经给出确切证据。

通过检查并不总意味着没有纠缠 ​

在更高维，所有特征值非负只说明这项测试没有发现纠缠。PPT 纠缠态还能具有零可蒸馏纠缠公理库可蒸馏纠缠Distillable entanglement以许多相同混态副本经 LOCC 产生近似 Bell 对的最高渐近速率衡量可用纠缠。，所以“纠缠存在”“部分转置负”“能蒸馏 Bell 对”需要分开判断。

图中“00”“11”对应 $|00⟩,|11⟩$；“对称”与“反对称”分别对应 $(|01⟩+|10⟩)/\sqrt{2}$ 与 $(|01⟩-|10⟩)/\sqrt{2}$。负特征值只出现在最后一个方向。

若负特征向量为 $|v⟩$，可构造

对任意可分 $\sigma$，$\mathrm{Tr}(W\sigma )=⟨v|{\sigma }^{T_B}|v⟩\ge 0$；对被检测态则为负。这把矩阵谱检测转成一个纠缠见证公理库纠缠见证Entanglement witness用一个在全部可分态上非负的可观测量，以负期望值证实目标态的纠缠。，便于针对特定状态设计测量。

矩阵维数为 $d_A{d}_B$ 时，先按指标重排即可计算部分转置，再用厄米特征值算法检查最小特征值。浮点结果在零附近时应给出误差容限；一个小于舍入误差的负数不能单独作为实验中的纠缠证据。