线性系与射影映射

射影坐标公理库射影空间Projective space把非零向量按非零标量倍数关系取商所得的直线空间。允许同时乘一个非零数。线丛换局部标架时，各截面的坐标函数正好同时乘同一个可逆函数，因此它们的比例不变。

但至少要有一个坐标非零，比例才有意义。无基点条件负责让映射处处有定义；要把空间嵌入目标，还必须让这些截面区分不同位置及其局部方向，前一条件不会自动完成后一任务。

两个线性坐标留下一个基点 ​

在 ${\mathbb{P}}_k^2$ 上，$X,Y$ 是$\mathcal O(1)$ 的截面公理库Proj 上的扭转层Twisting sheaf · Serre twisting sheaf从分次位移构造扭转层，逐指数算出P1上的H0和H1，并展示非标准分次下O(1)失效。。它们给出比值

却在 $p=[0:0:1]$ 同时为零。在 $Z\ne 0$ 的图中，令 $x=X/Z,y=Y/Z$，此映射为 $(x,y)\mapsto [x:y]$，不能在原点直接求值。

这里的基点也不能仅靠补一个值消除。沿 $y=0$ 的非原点部分，映射恒为 $[1:0]$；沿 $x=0$ 的非原点部分，恒为 $[0:1]$。若有在原点附近的态射延拓，它限制到两条坐标轴，必须在原点同时取这两个不同值，矛盾。这就是从一点向一条射影直线投影时的真正缺口。

有些坐标公式的公共因子可以约去，使同一个有理映射延拓；因此“这组选定截面有基点”和“有理映射绝不能延拓”应分别检查。本例用两条轴证明了后一项。

没有基点仍未必嵌入 ​

在 ${\mathbb{P}}_k^2$ 上选 $\mathcal{O}(2)$ 的截面 $X^2,Y^2,Z^2$。每个点至少一个坐标非零，故给出态射

若 $\mathrm{char}k\ne 2$，不同点 $[1:1:0]$ 与 $[1:-1:0]$ 同像，所以它不是嵌入。

特征2时，上述两个点不再不同，但也不能因此宣布映射是嵌入。在 $Z\ne 0$ 的仿射图中，环映射为

它不满射，因为 $x$ 不在 $k[x^2,y^2]$ 中。闭嵌入在这张图上应给满环同态，因此仍不是闭嵌入。基点自由、点集单射、保留局部概形结构是不同要求。

逐片构造映射并检查换标架 ​

在开集 $U$ 上取标架 $e$，写 $s_i=f_{i}e$。无基点条件使 $U$ 被 $U_i=\{f_i\ne 0\}$ 覆盖；这里 $f_i$ 不在对应局部环的极大理想中，所以可逆。映到目标标准片 $T_i\ne 0$ 的环坐标为

这些函数在 $U_i$ 上正则，故确定概形态射公理库概形与结构层Scheme · Structure sheaf · 概形在主开集上清分母证明结构层的粘合与茎公式，用双数区分拓扑点和局部环，再把两条仿射线粘成射影直线并计算全部全局正则函数。。若 $e^{\prime }=ae$，$a$ 可逆，则 $f_i^{\prime }=a^{-1}{f}_i$，所有比值 $f_j^{\prime }/f_i^{\prime }$ 等于原比值。因此式 (2) 与标架选择无关。

在 $U_i\cap U_{\ell }$ 上，目标图的转换也是比值再相除：$(T_j/T_{\ell })=(T_j/T_i)/(T_{\ell }/T_i)$。两份局部映射因此相同，能粘成式 (1)。这同时给出了存在性和唯一性。

为什么拉回O(1)得到原线丛 ​

目标 $T_i\ne 0$ 图中，$T_i$ 是 $\mathcal{O}(1)$ 的标架；作模层拉回公理库层的直像与逆像Direct image of a sheaf · Inverse image of a sheaf沿连续映射构造层的直像与逆像，通过点嵌入区分芽和点值，并计算逆像与模拉回之间的标量变化。后把它送到 $s_i$。交上两个标架的比为 $T_j/T_i$，而式 (2) 将它送为 $s_j/s_i$，正是 $\mathcal{L}$ 的过渡函数。因此

并在此同构下 ${\phi }^{\ast }{T}_i=s_i$。线丛不是坐标构造之外的附件，而是保证这些坐标能全局相容的对象。

截面空间的选择改变几何表达 ​

对整数 $d\ge 1$，在 ${\mathbb{P}}^1$ 上，$X^d,Y^d$ 给出无基点映射 $[X:Y]\mapsto [X^d:Y^d]$；若使用全部 $d+1$ 个次数 $d$ 单项式，则得到Veronese嵌入公理库Veronese 嵌入Veronese embedding由完整单项式线性系构造Veronese闭嵌入，逐图核验扭三次曲线的三条子式方程与超平面截面。。两者使用同一线丛 $\mathcal{O}(d)$，但挑选的截面空间不同，几何结果也不同。

因此完成一个线性系构造时，应提交三项证据：局部标架下的坐标函数，至少一项可逆的覆盖，以及目标图之间的比值兼容。若还声称嵌入，则须再给局部逆坐标或闭嵌入的环映射检验，不能停在“没有共同零点”。