Veronese 嵌入

只记录 $d$ 次纯幂可能丢失原坐标的比例。Veronese同时记录所有混合单项式，因而在某个 $x_i^d$ 非零的区域，可以用 $x_i^{d-1}{x}_j/x_i^d$ 直接读回 $x_j/x_i$。

这种读回不需要取 $d$ 次方根。所以即使底域特征整除 $d$，完整Veronese仍是嵌入；它与只取纯幂的Frobenius式映射有本质区别。

扭三次曲线的三条方程 ​

取 $n=1,d=3$：

其像满足矩阵

的全部二阶子式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。为零：

这三条方程没有引入多余分支。若某个射影素理想含 $z_0,z_3$，由式 (2) 它也含 $z_1^2,z_2^2$，故含全部坐标，不是射影点。因此式 (2) 定义的闭子概形由 $z_0\ne 0$ 与 $z_3\ne 0$ 两图覆盖。

在第一图令 $a=z_1/z_0,b=z_2/z_0,c=z_3/z_0$。式 (2) 化为

第三式自动成立，坐标环为 $k[a]$。式 (1) 在 $s\ne 0$ 图中正是 $a=t/s$。第二图同理以 $s/t$ 作坐标，重叠时二者互为倒数。这证明式 (1) 与式 (2) 所定义的整个概形同构，包括局部环，而不只是点集相同。

这条曲线称为扭三次曲线。它同构于 ${\mathbb{P}}^1$，并不是射影平面中的光滑三次曲线，更不能因为名称含“三次”就把它当成椭圆曲线。

一个超平面的拉回 ​

目标超平面 $z_0-z_3=0$ 在式 (1) 下拉回为 $s^3-t^3=0$。若 $k$ 代数闭且特征不为3，有三个不同射影点；特征3时它等于 $(s-t{)}^3$，只有一个底层点，但交重数为3。

另取 $z_0=0$，拉回为 $s^3=0$，在 $[0:1]$ 上有三重交。嵌入的次数与带重数的超平面截面相关，不能一律理解为不同点的个数。

分次子环给出一般闭嵌入证明 ​

令 $S=k[x_0,\dots ,x_n]$，取Veronese分次子环公理库分次环与齐次理想Graded ring · Homogeneous ideal通过二次关系逐层算维数，说明齐次理想何以允许商分次，并区分齐次局部化与零次比例环。

把原次数 $md$ 重新记为次数 $m$。每个次数 $md$ 单项式都能分成 $m$ 个次数 $d$ 单项式的乘积，故 $S^{(d)}$ 由其次数1部分生成。

因此有满分次环同态

由Proj 的齐次商构造公理库Proj 构造Proj construction · Projective spectrum以零次局部化构造Proj，完整计算射影二次曲线的两张仿射图，并区分射影曲线与仿射锥。，它把 $\mathrm{Proj}{S}^{(d)}$ 实现为 ${\mathbb{P}}^N$ 的闭子概形。

剩下要证明 $\mathrm{Proj}{S}^{(d)}\cong {\mathbb{P}}^n$。纯幂 $x_i^d$ 的标准图覆盖它：若一个齐次素理想含全部纯幂，则任意次数 $d$ 单项式的 $d$ 次幂都是这些纯幂的乘积，素性迫使它含所有次数1生成元，矛盾。

在 $x_i^d$ 图上，零次坐标环为

省略等于1的 $x_i/x_i$。一方面所有合法分式都是这些比值的多项式；另一方面 $x_j/x_i=(x_i^{d-1}{x}_j)/x_i^d$ 已在其中。图的过渡也正是射影空间的普通比值转换。因此这些同构粘合，完成闭嵌入证明。

嵌入会改变次数，却不改变曲线本身 ​

扭三次曲线仍是射影直线，但它的超平面拉回为三次截面。按分次子环计算，第 $m$ 层是 $k[s,t{]}_{3m}$，维数为 $3m+1$。这将成为Hilbert多项式公理库Hilbert 函数与多项式Hilbert function · Hilbert polynomial证明标准分次代数的维数最终呈多项式增长，用扭三次与平面四次曲线读出维数、次数和算术亏格。读出嵌入次数3的直接例子。

自检：对二次Veronese $[s:t]\mapsto [s^2:st:t^2]$，应能写出唯一二次关系 $z_0{z}_2=z_1^2$，并在 $z_0\ne 0$ 图上读回 $t/s=z_1/z_0$。这说明信息来自混合项，而非对纯幂开方。