Hilbert 函数与多项式

一条关系会消去一些单项式，但也会在更高次数产生它的全部倍数。Hilbert函数计算每一层还剩多少独立坐标，因此同时追踪生成元与关系怎样随次数增长。

最终多项式的次数描述增长的维度，最高项系数描述在指定嵌入下的密度。曲线同构不意味着这个最高项系数相同，因为换一种嵌入就换了“次数1”代表的几何截面。

同一条射影直线，嵌入次数不同 ​

扭三次曲线公理库Veronese 嵌入Veronese embedding由完整单项式线性系构造Veronese闭嵌入，逐图核验扭三次曲线的三条子式方程与超平面截面。的齐次坐标环是

把四个三次单项式记为新次数1。其第 $m$ 层恰为 $k[s,t{]}_{3m}$：任意 $s^{3m-j}{t}^j$ 可把指数分成 $m$ 组总次数3，所以由这些生成元产生。

因此一组基为 $s^{3m-j}{t}^j$，$0\le j\le 3m$，得到

Hilbert多项式为一次，读出曲线维数1；首项系数3读出嵌入次数3。普通 ${\mathbb{P}}^1$ 的坐标环 $k[s,t]$ 则给 $m+1$。两者对应的曲线同构，但嵌入不同。

平面四次曲线的小次数与最终公式 ​

令 $A=k[X,Y,Z]$，$F$ 为任意非零齐次四次式，$S=A/(F)$。由于 $A$ 是整环，乘 $F$ 给分次短正合列公理库短正合列Short exact sequence · Short exact extension以单态射、满态射和中间正合性把子对象、扩张对象与商对象连接起来的三项正合列。

按次数取维数：

其中负次分量为零。对 $m\ge 4$，两项均可写成二项式多项式，得到

所以曲线次数为4。曲线Hilbert多项式通常写为 $em+1-p_a$，这里读出算术亏格 $p_a=3$；它不是仅凭画图数出的洞数。奇异曲线的算术亏格也不必等于其光滑化后的几何亏格。

在 $m=0$ 时，真实值是 $H_S(0)=1$，但 $P_S(0)=-2$；在 $m=1$ 时，真实值为3，多项式给2。负值没有表示“负维空间”，只是提醒我们正在把最终规律外推到适用范围之外。

加权分次可以保留周期振荡 ​

若 $S=k[x]$、$\mathrm{deg}x=2$，则 $H_S(m)$ 在偶数 $m$ 为1，在奇数 $m$ 为0。不存在一个多项式在所有充分大整数上与它相等：若有，因无限多个偶数处值为1，该多项式恒为1，又与奇数处矛盾。

它分别在两个同余类上是常数，这属于准多项式行为。前面的标准分次条件正是排除这种剩余周期的一项关键假设。

有限差分证明最终多项式性 ​

更一般地，对多项式环 $A=k[x_1,\dots ,x_N]$ 上有限生成分次模 $M$，证明 $\dim M_m$ 最终为多项式。对 $N$ 归纳。$N=0$ 时 $M$ 有限维，足够高分量为零。

取 $x=x_N$，令 $K=(0{:}_{M}x)$、$C=M/xM$。Hilbert基定理公理库Hilbert 基定理Hilbert basis theoremNoether 环上添有限多个多项式变量仍保持 Noether 性的有限生成定理。保证 $K$ 仍有限生成；$K,C$ 都被 $x$ 消去，故为前 $N-1$ 个变量上的有限生成分次模。每个次数上有正合列

于是

右侧由归纳假设最终为多项式。对二项式基有

所以对一个多项式逐次作离散求和，仍得到多项式。式 (1) 由此推出 $H_M$ 最终为多项式。取 $M=S$，用标准分次的多项式环满射即可得到所述存在性；唯一性来自两个多项式在无限多个整数处相等。

为什么增长次数等于维数减一 ​

说明这一点可以使用普通的Noether正规化公理库Noether 正规化引理Noether normalization lemma在有限生成域代数中选出多项式子环，使原代数成为其上的有限整扩张。，不必另假设域无限。以下讨论 $S$ 无限维的情形，记 $d=\dim S\ge 1$；有限维情形已由最终为零单独处理。选择代数无关 $y_1,\dots ,y_d$，使 $S$ 在 $B=k[y_1,\dots ,y_d]$ 上有限。令

每个 $y_i$ 是有限次多项式，取整数 $D\ge 1$，使其最高次数至多 $D$。那么 $B$ 中总次数至多 $\lfloor m/D\rfloor$ 的单项式线性无关，且都在上式的过滤空间中，所以 $F(m)$ 至少按 $m^d$ 增长。

另一方面，选有限个 $B$-模生成元 $a_1,\dots ,a_q$。对每个次数1生成元 $x_i$，把所有 $x_i{a}_j$ 写为 $a_{\ell }$ 的 $B$-线性组合；有限多个系数多项式的 $y$-次数有共同上界 $C$。也把1写为这些 $a_j$ 的组合，系数次数有界。于是每个长度至多 $m$ 的 $x_i$ 单项式，都可写成 $y$-次数至多 $Cm+C_0$ 的系数乘 $a_j$，从而 $F(m)$ 至多按 $m^d$ 增长。

故 $F(m)$ 的增长阶恰为 $m^d$。若非零Hilbert多项式次数为 $r$，其累计和次数为 $r+1$，所以 $d=r+1$。最高项系数乘 $r!$ 为整数，可由 $r$ 次有限差分最终等于这个常数看出；它为正，因为高次数维数非负且增长未消失。

次数是一种带重数的相交计数 ​

设曲线的齐次坐标环为 $S$，要求所选线性方程 $\ell$ 在 $S$ 上是非零因子，即 $\ell$ 不属于 $S$ 的任何关联素理想公理库伴随素理想Associated prime用非零模元素的素零化子定义伴随素理想，计算线与嵌入点，并证明所有零因子恰由这些素理想覆盖。；几何上要避开仿射锥的这些关联点。整曲线以其整齐次坐标环表示时，超平面不包含曲线是一个常见的充分情形。此时才有短正合列

从而截面的Hilbert多项式为 $P(m)-P(m-1)$。若 $P(m)=em+c$，差正好为常数 $e$。下一页的Bézout定理公理库射影平面曲线的 Bézout 定理Bézout theorem for plane curves · Projective Bézout theorem以局部商环长度定义交重数，用分次正合复形证明平面Bézout，并计算尖点切线与无穷远的三重交。将这个常数与各交点局部商环的长度相连。

仅要求超平面不包含整条可约曲线还不够，因为它可能包含其中一个分量；存在嵌入关联点时，也必须检查这些点带来的零因子。

自检时应能对一般平面 $d$ 次曲线得到

同时保留“这些是最终Hilbert公式”的限定，而不把 $P(0)$ 当作 $H(0)$。