Grassmann 簇与 Plücker 嵌入

形式陈述

如何给 $k^n$ 的所有 $r$ 维子空间建立不依赖所选基的代数坐标？设 $1\le r<n$ ，Grassmann 簇 $\operatorname{Gr}(r,n)$ 参数化这些子空间。严格地说，这些 $k$ -子空间对应它的 $k$ 值点；后文的仿射图构造其概形结构，扩域 $K/k$ 上的值点则对应 $K^n$ 的 $r$ 维子空间。对一个子空间 $W$ 选基 $v_1,\ldots,v_r$ ，取外积

v_1\wedge\cdots\wedge v_r\ne0.

换基矩阵为 $A\in GL_r(k)$ 时，该外积乘以 $\det A$ 。因此其射影类只依赖 $W$ ，得到Plücker映射

\iota:\operatorname{Gr}(r,n)\longrightarrow \mathbb P\bigl(\textstyle\bigwedge^r k^n\bigr).

它是闭嵌入。若把基向量排成 $r\times n$ 矩阵的行，坐标 $p_I$ 就是列集 $I$ 对应的 $r$ 阶子式。

像只包含非零可分解外积的射影类。一般 $\bigwedge^r k^n$ 中的非零向量未必可分解，因此不能把整个目标射影空间都当作Grassmann簇。

直觉

一个子空间可以由很多矩阵的行空间表示；对矩阵作可逆行变换不改变子空间。最大子式虽然改变，却只会同时乘同一个行列式，于是变成一组适合射影化的共同坐标。

某个最大子式非零，就能把那组列化为单位矩阵。其余列成为自由参数，这给出Grassmann簇的局部坐标；不同选择之间通过矩阵求逆转换。

例子与边界

四维空间中的二维平面

对 $\operatorname{Gr}(2,4)$ ，共有六个坐标

[p_{12}:p_{13}:p_{14}:p_{23}:p_{24}:p_{34}].

它们满足Plücker关系

p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0. \tag{1}

在 $p_{12}\ne0$ 图中，对基作可逆换基，可以唯一将表示矩阵写成

M=\begin{pmatrix}1&0&a&b\\0&1&c&d\end{pmatrix}.

直接取子式得到

p_{12}=1,\quad p_{13}=c,\quad p_{14}=d, \quad p_{23}=-a,\quad p_{24}=-b,\quad p_{34}=ad-bc. \tag{2}

代入式 (1) 正好为零。反向，任意满足式 (1) 且 $p_{12}=1$ 的六元组，取

a=-p_{23},\quad b=-p_{24},\quad c=p_{13},\quad d=p_{14},

式 (1) 便强制最后一项等于 $ad-bc$ 。因此这一图精确为 $\mathbb A^4_k$ ，不是六个坐标可以独立变化的区域。

例如

M=\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&1&3&4\end{pmatrix}

给坐标 $[1:3:4:-2:1:11]$ ，核验为 $11-3-8=0$ 。对任意底域将这些整数取其像即可使用此例。

一个外积空间中的点不代表平面

考虑

w=e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4.

它的六元组为 $[1:0:0:0:0:1]$ ，式 (1) 左侧为1，所以不可分解，不对应任何二维子空间。这在任意特征都成立。

特征不为2时，也可由 $w\wedge w=2e_1\wedge e_2\wedge e_3\wedge e_4\ne0$ 看出不可分解。但在特征2中这个检验恒丢掉因子2，不能拿它代替式 (1)。子式关系才是本页跨特征使用的判据。

推论与应用

外积如何恢复原子空间

若 $w=v_1\wedge\cdots\wedge v_r\ne0$ ，则

W=\{v\in k^n:v\wedge w=0\}. \tag{3}

一边显然包含原来的 $W$ 。反向把 $v_1,\ldots,v_r$ 扩充为整个空间的一组基。将 $v$ 按此基展开， $v\wedge w$ 中来自后面各基向量的外积线性无关，故它们的系数都必须为零。于是 $v\in W$ 。式 (3) 证明射影外积没有把两个不同子空间识别。

仿射图给出维数与正则过渡

一般选 $r$ 个列指标 $I$ ，在 $p_I\ne0$ 的区域把这些列化为 $I_r$ ，其余部分是一张任意 $r\times(n-r)$ 矩阵。该图因此是 $\mathbb A^{r(n-r)}$ 。

换到另一组非零子式时，左乘所选新子矩阵的逆；逆矩阵由伴随矩阵除以非零行列式给出，所以图的过渡是相应开集上的正则函数。这些图形成一个光滑的维数 $r(n-r)$ 的代数簇。

关系为何给闭嵌入

将 $p_{i_1\cdots i_r}$ 按指标交替延拓，重复指标时置零。对长度分别为 $r-1$ 与 $r+1$ 的指标列 $I,J=(j_1,\ldots,j_{r+1})$ ，有二次关系

\sum_{\ell=1}^{r+1}(-1)^\ell p_{I j_\ell}\,p_{j_1\cdots\widehat{j_\ell}\cdots j_{r+1}}=0. \tag{4}

这些是行列式展开的Plücker关系。它们刻画可分解外积；在 $p_I\ne0$ 图上，先由只换入一列的坐标读出矩阵的 $r(n-r)$ 个条目，再由式 (4) 依次表达其余坐标为这张矩阵的子式。因而每张关系图的坐标环就是上述自由多项式环，局部逆与图过渡一致，得到闭嵌入。

对 $r=2,n=4$ ，式 (4) 只留下式 (1)。六张标准图都可按式 (2) 的方式处理，所以式 (1) 定义的整个射影二次超曲面恰好是 $\operatorname{Gr}(2,4)$ ，没有额外分支或厚化。

Grassmann簇将“选择一个子空间”变成在参数空间上选一点；下一步的典范向量丛会把这点所代表的子空间本身放到它的纤维里。自检可以对上述数值矩阵乘一个可逆二阶矩阵，验证六个子式同时乘其行列式，而式 (3) 恢复的平面不变。

参考资料

The Stacks Project，§27.22，Tag 089R，Lemma 27.22.1：Grassmann簇的标准仿射图与粘合。该来源以局部自由商表示一般基底上的函子，本文采用域上子空间的行空间约定。
Sergey Fomin、Lauren Williams、Andrei Zelevinsky，Introduction to Cluster Algebras, Chapters 1–3，§1.2，印刷 pp.4–5：最大子式坐标及三项Grassmann–Plücker关系。本文不使用其后全正性与丛代数理论，四参数图和特征2边界均直接计算。

形式陈述 ​

四维空间中的二维平面 ​

一个外积空间中的点不代表平面 ​

外积如何恢复原子空间 ​

仿射图给出维数与正则过渡 ​

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