向量丛的 Grassmann 分类

一个丛的局部坐标总有任意选择。把它嵌入足够大的固定向量空间后，每点的纤维就成为一个真实的 $r$ 维平面，于是底空间被映到Grassmann空间。

换一种嵌入会移动这些平面。增加环境维数后，可以让两种嵌入使用互不干扰的坐标块，再连续地从一个转到另一个。这正是最终只保留同伦类的原因。

用局部标架实际构造分类映射 ​

设 $X$ 为有限CW复形，取有限平凡化覆盖 $U_1,\dots ,U_m$，以及由紧 Hausdorff 版本提供的连续单位分解公理库单位分解Partition of unity用局部有限、非负且和为一的光滑函数族从属于开覆盖并粘合局部构造。 ${\rho }_1,\dots ,{\rho }_m$。令 $g_i:E{|}_{U_i}\to {\mathbb{K}}^r$ 为纤维坐标映射，定义

每个分量在 $U_i$ 外取零。由于 $\mathrm{supp}{\rho }_i\subset U_i$，它在覆盖外每点附近已经恒为零，故零延拓连续。

至少一个 ${\rho }_i(x)>0$。若式 (2) 的全部纤维分量为零，该项立即强制 $v=0$，所以 $J$ 逐纤维单射。于是

它确实连续：在局部标架中 $J$ 是满列秩矩阵 $A(x)$，像空间的正交投影为

矩阵求逆连续，所以像平面连续变化。式 (2) 直接给出 $E\cong f^{\ast }{\gamma }_r$，证明分类映射的存在。

Möbius丛的一个具体分类图 ​

用 $\theta \in \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ 表示圆周，定义

$\theta$ 增加 $2\pi$ 时，两坐标同时反号，故这是一条良定义的连续映射。拉回典范实线丛后，纤维为向量 $(\cos \left(\theta /2\right),\sin \left(\theta /2\right))$ 张成的直线。

映射

在 $(\theta +2\pi ,-a)$ 处取同一向量，因此把通常的Möbius商模型与 $f^{\ast }{\gamma }_1$ 逐纤维识别。这是分类定理的一份具体拉回，而不是重新证明圆周线丛只有两类。

环境维数不能过早固定 ​

分类目标是所有有限Grassmann阶段的并，不是某个预先任意选定的 $\mathrm{Gr}(r,N)$。例如 $\mathrm{Gr}(r,r)$ 只有一点，只能给平凡秩 $r$ 丛；Möbius丛至少需要更大的环境。

对每个紧底空间上的具体丛，都可找到某个有限 $N$。这不等于存在一个固定 $N$ 能处理全部底空间、所有维数和所有分类同伦。

同构丛为什么给同伦分类图 ​

设同一个丛有两份嵌入 $J_0,J_1$。将有限环境维数补齐到同一个 $N$，在 ${\mathbb{K}}^N\oplus {\mathbb{K}}^N$ 中定义

两系数不同时为零，所以每个 $J_{\theta }$ 仍逐纤维单射。其像平面给出从第一坐标块的 $J_0$ 到第二坐标块的 $J_1$ 的同伦。再把同一份 $J_1$ 通过平面旋转从第二块移回第一块，即得到两分类图在更大Grassmann空间中的同伦。

若起初两个丛仅同构，先用该同构把两嵌入看成定义在同一个丛上，再应用此构造。因此分类图的同伦类与局部标架、单位分解和嵌入选择都无关。

同伦分类图为什么给同构丛 ​

设 $H:X\times [0,1]\to \mathrm{Gr}(r,N)$ 为同伦。令 $P(x,t)$ 是相应平面的正交投影。紧致性使 $P$ 一致连续，因此可把时间区间分成有限段，使每段端点 $s,t$ 满足

对 $v\in \mathrm{im}P(x,s)$，若 $P(x,t)v=0$，则

除非 $v=0$。所以 $P(x,t)$ 限制到原纤维是单射；两边秩相等，故为同构。其矩阵逆在局部标架中连续，因此是丛同构。沿时间分段复合，得到 $H_0^{\ast }{\gamma }_r\cong H_1^{\ast }{\gamma }_r$。

对于无限Grassmann目标，有限CW底空间及其同伦参数空间紧致，连续像包含在某个有限子复形，因而包含某个有限Grassmann阶段；可回到上述证明。这完成有限CW情形的双射，而非只得到分类图存在。

线丛为什么引出RP∞和CP∞ ​

$r=1$ 时，实分类空间就是 ${\mathbb{RP}}^{\mathrm{\infty }}$，复分类空间是 ${\mathbb{CP}}^{\mathrm{\infty }}$。因此任何通用上同调类都可沿分类图拉回，给出丛同构不变量。

这个步骤只使用分类空间及普通上同调，还没有假定高秩特征类已经存在。下一页射影丛上同调公理库射影丛的上同调定理Projective bundle theorem · Cohomology of a projective bundle由复线分类先构造射影丛的二次类，再证明Leray–Hirsch自由模基和唯一首一关系，避免Chern构造循环。先从复线丛的分类图取得一个二次类，再证明自由模基；高秩Chern类随后才由唯一关系系数定义。

自检应能从有限平凡化数据写出式 (2)，说明为何至少一个非零权重足以保证单射，并指出证明的哪两处使用了紧致性。只写“由通用丛拉回”并没有完成这些构造。