纤维丛

局部平凡化同时给附近每根纤维安排一套坐标。它要求整个 $p^{-1}(U)$ 像一个乘积，远强于“每根纤维单独都与 $F$ 同胚”：后一句没有规定这些同胚能否随底点连续变化。

过渡函数回答的是：同一个上层点，换一张局部坐标后，纤维坐标如何改变？三张坐标依次转换必须与直接转换一致，这就是上述 cocycle 条件。局部乘积可以存在，而这些乘积仍可能无法拼成一个全局乘积；扭转保存在重叠处的坐标变换里。

投影 $B\times F\to B$ 是平凡纤维丛。若 $F$ 离散，则 $U\times F$ 分成开片 $U\times \{f\}$，每片都同胚地投到 $U$，所以得到覆叠空间公理库覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。。反过来，若一个覆叠的所有纤维基数相同，就能选一个固定离散集合 $F$ 作为模型纤维。连通底空间自动满足基数相同；不同连通分支的层数不同的覆叠，则不符合本页固定 $F$ 的定义。

用商拓扑公理库商拓扑Quotient topology由满射逆像判据定义的最细拓扑，用来把指定点族连续地粘合为点。将矩形的两条竖边反向粘合，得到有边界的 Möbius 带：

它是模型纤维为闭区间 $[-1,1]$ 的纤维丛。接缝附近也有局部乘积：用一条跨过 $[0]$ 的小弧作底坐标，并在接缝一侧反转区间坐标，即得到连续的区间坐标。闭区间纤维不是实向量空间，因此这个有边界的带本身不是实线丛。

将纤维换成整条实线，得到 Möbius 实线丛。它与上述带去掉边界后的内部作为纤维丛同构，例如奇同胚 $a\mapsto \tan \left(\pi a/2\right)$ 把 $(-1,1)$ 变成 $\mathbb{R}$，并与反号粘合相容。光滑向量丛公理库光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛纤维为同维向量空间、局部以光滑保线性方式平凡化的丛；用 Möbius 线丛的两张坐标计算整体扭转。页给出两条开弧上的完整坐标、两个重叠分支上的 $+1/-1$ 变换，以及它为何连作为一般纤维丛都不全局平凡的证明。

纤维丛与Serre 纤维化公理库Serre 纤维化Serre fibration对圆盘参数族具有同伦提升性质，从而支持纤维同伦与长正合列的映射。的定义关注不同性质：前者要求局部乘积，后者要求圆盘参数族的同伦提升。局部平凡纤维丛都是 Serre 纤维化，反向结论不成立。若纤维丛的平凡化开覆盖存在从属于它的局部有限单位分解（即该覆盖为 numerable），则该丛还具有对所有参数空间的同伦提升性质，是 Hurewicz 纤维化；不能把这一额外结论直接当作所有纤维丛的定义。

向量丛在一般纤维丛之上增加逐纤维线性结构，并要求局部平凡化保持该结构；光滑向量丛再增加光滑性。理解一般定义后，检查一个候选向量丛可以分成两步：先确认局部乘积与投影相容，再确认坐标变换线性且具有所需正则性。

平凡丛只要 $F$ 非空，就可固定 $v_0\in F$ 得到截面 $b\mapsto (b,v_0)$。逆命题不成立：Möbius 实线丛有零截面，却不平凡。一个截面只连续选出每根纤维中的一点；全局平凡化必须连续地为每根纤维安排完整的 $F$ 坐标。沿着“局部坐标—重叠变换—全局障碍”检查一个例子，比从总空间的外观猜测它是否平凡更可靠。