典范子丛与商丛

Grassmann簇把一族子空间当作一个空间来研究，典范子丛再把每个子空间中的向量补回来。底点说“是哪张平面”，纤维向量说“这张平面中的哪一个向量”。

虽然 $\mathcal{S}$ 包含在平凡丛里，它自身未必平凡。平凡丛提供同一个环境空间，不保证能在每个移动子空间内连续选择同一组基。

Gr(2,4)图上的子丛与商丛同时平凡化 ​

在 $p_{12}\ne 0$ 图中，把平面写成矩阵

的行空间。典范子丛有局部标架

纤维坐标 $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2)$ 对应

反向只读前两个坐标，所以平凡化与逆都随 $a,b,c,d$ 连续，实、复情形均光滑。

商丛也可直接读出。对 $z=(z_1,z_2,z_3,z_4)$，减去 $z_1{v}_1+z_2{v}_2$，得到同一商类的唯一代表

因此后两个分量是商丛的局部坐标。这个补空间是坐标补空间，通常并非正交补；两种代表方式给同一个抽象商纤维。

复射影空间上的负线丛 ​

${\mathbb{CP}}^2={\mathrm{Gr}}_{\mathbb{C}}(1,3)$。典范子丛是

通常记为 $\mathcal{O}(-1)$，商丛秩为2。

限制到 $z_2=0$ 的 ${\mathbb{CP}}^1$。在 $z_0\ne 0$ 图取 $t=z_1/z_0$，标架为 $e_0=(1,t,0)$；在 $z_1\ne 0$ 图取 $u=z_0/z_1$，标架为 $e_{\mathrm{\infty }}=(u,1,0)$。交上

同一向量写作 $v=e_0{a}_0=e_{\mathrm{\infty }}{a}_{\mathrm{\infty }}$，所以坐标关系为 $a_0=t^{-1}{a}_{\mathrm{\infty }}$。这与前面代数负线丛公理库局部自由层与代数线丛Locally free sheaf · Invertible sheaf用原点理想展示局部自由性的失败，再构造射影直线的负线丛，区分局部标架、全局基和点纤维。的过渡一致；只是在这里把复代数过渡视作连续或光滑过渡。

在 $|t|=1$、$t=e^{i\theta }$ 上，式 (3) 的乘子绕数为 $-1$。对偶丛的过渡是 $t$，记为 $\mathcal{O}(1)$。选择 $t$ 图的复定向圆盘边界为正向，便固定了后续正负类的约定。

平凡中间项不迫使两端平凡 ​

若 $\mathcal{S}$ 在这条 ${\mathbb{CP}}^1$ 上有处处非零截面，它就给一条全局复标架。但式 (3) 的非零绕数与球面复线丛分类公理库圆周与球面的线丛分类Line bundle classification on S1 and S2 · 圆周实线丛与球面复线丛分类以两开集上的过渡函数分类圆周实线丛与球面复线丛，证明符号和绕数的不变性与完备性，并用局部对数实际构造同构及张量加法。冲突，故 $\mathcal{S}$ 非平凡。

即使使用度量把式 (1) 分裂为 $\mathcal{S}\oplus {\mathcal{S}}^{\perp }\cong {\underset{―}{\mathbb{C}}}^3$，也不能由直和整体平凡推出每项平凡。这里的分裂是两个子丛之间的分解，不是把每个子丛再拆成全局固定基。

图与图之间的换基保证全局成立 ​

一般在某组 $r$ 列可逆的Grassmann图上，将这些列化为单位矩阵，便得到 $r$ 个连续局部标架。另一张图的标架通过对应可逆子矩阵进行换基公理库换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。，矩阵与其逆都是该重叠区上的连续函数。

因此式 (2) 并非只证明一个特例：相同构造在所有标准图成立，并给出相容过渡，从而证明 $\mathcal{S}$ 确实是向量丛。商丛用同一图的坐标补空间获得平凡化，式 (1) 逐片就是普通向量空间的短正合列。

它为什么会成为通用对象 ​

若某个秩 $r$ 丛 $E\to X$ 已嵌入平凡丛 $X\times {\mathbb{K}}^N$，每点的像 $E_x\subseteq {\mathbb{K}}^N$ 就定义映射 $f:X\to \mathrm{Gr}(r,N)$。其拉回典范子丛的纤维恰为 $E_x$，因此 $E\cong f^{\ast }\mathcal{S}$。

Grassmann分类公理库向量丛的 Grassmann 分类Classification of vector bundles · Classifying map to a Grassmannian以单位分解构造丛的有限维嵌入，再用不交坐标块和邻近投影证明有限CW上的Grassmann同伦分类。接下来证明：在紧CW等合适底空间上，所有有限秩丛都能如此嵌入；增加环境维数后，分类映射的同伦类恰好对应丛同构类。典范丛的作用不是另造一份特殊丛，而是把一般丛的纤维数据放进统一的参数空间。

自检应能用式 (2) 明确写出一个纤维向量，再用商丛公式判断另一个向量是否与它同类；同时说清选正交补改变了哪些代表，哪些商类与丛本身没有改变。