圆周与球面的线丛分类

形式陈述

以下同构都覆盖固定底空间的恒等映射，并在每条纤维上保持相应的实线性或复线性。底空间与丛采用光滑范畴。

圆周 $S^1$ 上的实秩一向量丛恰有两种同构类：平凡线丛 $\mathbf1_{\mathbb R}$ 与 Möbius 线丛 $M$ 。以张量积为运算，这两类组成 $\mathbb Z/2$ 。
固定球面 $S^2$ 的南北两图及赤道正向，复秩一光滑向量丛的同构类与 $\mathbb Z$ 一一对应。记整数 $n$ 对应的丛为 $L_n$ ，则

L_m\otimes L_n\cong L_{m+n},\qquad L_n^*\cong L_{-n},\qquad L_n\cong\mathbf1_{\mathbb C}\Longleftrightarrow n=0.

第二条中的复线性是必要条件；不把复线性同构与共轭线性映射混在一起。整数的符号还依赖明确的拼接约定，下面统一用“南图坐标变成北图坐标”的函数来计算。

本页先证明每个丛都能这样表示，再证明不变量不依赖标架，最后给出同一不变量时的实际同构。因此结论是完整分类，而不只是若干非平凡例子。

直觉

单张可缩图上的线丛可以选一个处处非零的基，扭转只会出现在两张基的对接处。实数的非零乘子有正、负两支，所以圆周上留下一个总符号。复数的非零乘子可以连续转动，球面赤道上的对接便可能绕原点任意整数圈。

换标架能改变过渡函数的形状和大小，却不能任意抹去这些信息。反向也同样重要：若剩下的比值可以写成单值指数 $e^h$ ，就能把 $h$ 分到两张图上，由两个合法换标架消去它。这是分类证明的构造部分。

非零复过渡函数的相位提升在赤道一周后增加六π，所以绕数为三；除以三次标准绕行后，相位误差变成可周期延拓的正弦函数。 — 绕数是相位提升的端点差

图中相位是实线上的提升，纵坐标没有模 $2\pi$ ； $3\theta+\sin\theta$ 从 $0$ 增加到 $6\pi$ ，而除去 $e^{3i\theta}$ 后的相位 $\sin\theta$ 两端相同。所得比值具有单值对数，可以由换标架消去。两图纵轴使用各自标出的刻度。

例子与边界

为什么两张大图上都能选到标架

不能仅凭“局部平凡”就宣布任意大图上的限制都平凡。这里使用已经证明的光滑收缩平凡化：用单位分解选择联络，将一个纤维中的非零向量沿收缩路径平行移动；参数光滑性与移动的可逆性给出全局非零标架。

因此在开区间、开球或 $\mathbb R^2$ 上，任意光滑实或复线丛都平凡。圆周的两条开弧同胚且微分同胚于开区间；球面去掉一个极点的图微分同胚于 $\mathbb R^2$ ，所以本页选取的图适用此结论。选择的联络只负责产生标架，未进入分类数据。

两张图之间的换标架方程

记两张图为 $U,V$ 。选标架后，同一纤维向量的坐标满足

v_U=g\,v_V,\qquad g:U\cap V\to\mathbb K^\times.

若另一个丛的过渡函数为 $g'$ ，则向量丛重建定理给出

E_g\cong E_{g'} \quad\Longleftrightarrow\quad g'=a_Ug\,a_V^{-1} \tag{1}

对某些光滑非零函数 $a_U:U\to\mathbb K^\times$ 、 $a_V:V\to\mathbb K^\times$ 成立。局部同构实际为 $(x,v)\mapsto(x,a_U(x)v)$ 与 $(x,v)\mapsto(x,a_V(x)v)$ 。

这里有一个反复使用的构造。取从属于 $U,V$ 的单位分解 $\rho_U+\rho_V=1$ 。若比值 $g'/g=e^h$ 在交上有光滑单值对数，则令

b_U=\operatorname{ext}_U(\rho_Vh),\qquad b_V=-\operatorname{ext}_V(\rho_Uh). \tag{2}

下标表示延拓到哪张图，延拓在交外取零。支集条件保证零延拓光滑；例如在 $U\setminus V$ 每一点附近， $\rho_V$ 恒为零，不要求 $h$ 在接缝附近有界。在交上 $b_U-b_V=h$ ，所以

a_U=e^{b_U},\qquad a_V=e^{b_V}

满足式 (1)。对实函数同样成立，而且此时两个换标架都为正。

圆周实线丛：两个接缝留下一个总符号

沿用向量丛页的两开弧

U=q((-\tfrac14,\tfrac34)),\qquad V=q((\tfrac14,\tfrac54)),\qquad q(t)=[t]\in\mathbb R/\mathbb Z.

交有两个连通分支

W_0=q((\tfrac14,\tfrac34)),\qquad W_1=q((-\tfrac14,\tfrac14)).

在两图上选非零实标架，令 $g=g_{UV}$ 。非零连续实函数在连通集上不能变号，所以 $g$ 在 $W_0,W_1$ 上分别有常符号 $\epsilon_0,\epsilon_1$ 。定义

\epsilon(E)=\epsilon_0\epsilon_1\in\{1,-1\}. \tag{3}

先证它不变。任意 $a_U,a_V$ 在各自连通开弧上各有一个常符号；式 (1) 因而把两处的 $\epsilon_j$ 同时乘以同一符号。它们的乘积不变，特别地丛同构不改变 $\epsilon(E)$ 。

再证它足够。若 $g,g'$ 的符号乘积相同，则 $q=g'/g$ 在两交分支上的符号相同，记为 $c\in\{1,-1\}$ 。函数

h=\log(cq)

在整个交上光滑，因为 $cq>0$ 。用式 (2) 分拆 $h$ ，取

a_U=c\,e^{b_U},\qquad a_V=e^{b_V}.

于是 $a_U/a_V=c\,e^h=q$ ，得到所需丛同构。这个证明同时消去了过渡函数的所有正幅度变化。

所以每个丛同构于一套常数过渡数据： $W_0$ 上为 $1$ 、 $W_1$ 上为 $\epsilon(E)$ 。两张图上没有额外的三重交约束，这些数据由重建定理确实给出丛。当 $\epsilon=1$ 时两坐标直接粘成平凡丛； $\epsilon=-1$ 时正是既有 Möbius 模型。两者不同构，既可由式 (3) 看出，也可由向量丛页的反周期截面必有零点证明。

推论与应用

一个复函数的绕数与单值对数

先把球面重叠处需要的复分析事实完整写出。设 $g:\mathbb R\to\mathbb C^\times$ 光滑且 $2\pi$ 周期。任选 $\ell_0\in\mathbb C$ 使 $e^{\ell_0}=g(0)$ ，定义

\ell(\theta)=\ell_0+\int_0^\theta\frac{g'(u)}{g(u)}\,du.

直接求导可知 $e^{-\ell(\theta)}g(\theta)$ 恒为 $1$ ，所以 $e^\ell=g$ 。由周期性，

\ell(2\pi)-\ell(0)\in2\pi i\mathbb Z.

于是

\operatorname{wind}(g) =\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac{g'(\theta)}{g(\theta)}\,d\theta \in\mathbb Z. \tag{4}

这也是 $g/|g|$ 的连续角度提升终点差除以 $2\pi$ ，与圆周基本群的整数一致；覆叠提升性质解释了为何角度可以沿参数实线选择，却未必能在整个圆上单值选择。

由对数导数直接得到

\operatorname{wind}(g_1g_2) =\operatorname{wind}(g_1)+\operatorname{wind}(g_2),\qquad \operatorname{wind}(g^{-1})=-\operatorname{wind}(g). \tag{5}

若 $g$ 光滑依赖额外参数，式 (4) 连续依赖参数却始终取整数，故在连通参数区间上不变。这证明了光滑同伦不变性。常值函数绕数为零；能非零地延拓到圆盘的光滑函数，其边界限制沿圆盘的径向收缩同伦于常值，故绕数为零。

还需要带参数的逆结论。设 $q=q(\theta,z)$ 是圆柱 $S^1\times(-1,1)$ 上的光滑非零函数，每条纬圈绕数为零。先在区间 $(-1,1)$ 上取 $q(0,z)$ 的光滑对数 $\ell_0(z)$ ：从 $z=0$ 的一个对数值出发，积分 $(\partial_zq)(0,z)/q(0,z)$ 即可。再定义

h(\theta,z)=\ell_0(z) +\int_0^\theta\frac{\partial_uq(u,z)}{q(u,z)}\,du. \tag{6}

同样求导得到 $e^h=q$ ，且

h(\theta+2\pi,z)-h(\theta,z)=0.

因而 $h$ 及其各阶导数都周期，下降为圆柱上的光滑单值对数。反过来，若 $q=e^h$ 有这种对数，则绕数为零。式 (6) 同时处理了随纬度变化的过渡数据，不只处理赤道上的一个圆。

球面复线丛：整数既必要又充分

取标准单位球面

U_N=S^2\setminus\{\text{南极}\},\qquad U_S=S^2\setminus\{\text{北极}\}.

两图的交以

(x,y,z)=\bigl(\sqrt{1-z^2}\cos\theta,\sqrt{1-z^2}\sin\theta,z\bigr)

识别为 $S^1\times(-1,1)$ 。固定 $\theta$ 增大为赤道正向，并约定

v_N=g_{NS}(\theta,z)v_S.

前面的平凡化结果使任意复线丛都有这样的表示。定义

n(E)=\operatorname{wind}\bigl(g_{NS}(\cdot,0)\bigr). \tag{7}

任意另一条纬圈可沿 $z$ 变化接到赤道，故绕数相同。

与标架无关。 换标架后 $g'_{NS}=a_Ng_{NS}a_S^{-1}$ 。 $a_N$ 在包含北半球闭圆盘的图上非零， $a_S$ 在包含南半球闭圆盘的图上非零，因此二者在赤道上的绕数都为零；对于南半球，边界定向即使与所选 $\theta$ 相反，也不改变“绕数为零”的结论。式 (5) 因而给出 $n(E')=n(E)$ 。这既证明选择无关，也证明不同整数的丛不同构。

每个整数都出现。 在交上取

g_n(\theta,z)=e^{in\theta} =\left(\frac{x+iy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^n. \tag{8}

它对所有整数 $n$ 都光滑非零。规定反向过渡为 $g_n^{-1}$ ，由余循环重建得到复线丛 $L_n$ ，且 $n(L_n)=n$ 。 $L_0$ 的过渡恒为 $1$ ，所以平凡。

同一整数必同构。 若 $g,g'$ 具有同一整数，则比值 $q=g'/g$ 在每条纬圈上绕数为零。式 (6) 给出整个重叠圆柱上的光滑对数 $h$ ，再用式 (2) 构造 $a_N,a_S$ ，便有 $g'=a_Nga_S^{-1}$ 。式 (1) 给出光滑复线性丛同构。于是式 (7) 对同构类既单射又满射，分类完成。

交换南北图会把 $g_{NS}$ 换成倒数，从而让整数反号；反转赤道参数方向也让整数反号。式 (7)、(8) 固定了本页的符号。若还允许底空间的反向微分同胚或纤维共轭，所讨论的等价关系就改变了，不能继续使用原来的“覆盖恒等且复线性”分类。

将复线看作按 $(v,iv)$ 定向的实平面，Euler 类的两半球计算证明这个 $n$ 恰是 Euler 数。其换标架方向仍为 $v_N=g_{NS}v_S$ ；球面切丛的正则南北标架给出 $g_{NS}=e^{2i\phi}$ ，所以对应 $L_2$ 。

把非标准过渡函数化成标准模型

考虑与 $z$ 无关的过渡函数

g(\theta,z)=\exp(2\cos\theta)\, \exp\bigl(i(3\theta+\sin\theta)\bigr).

它并非恒定幅度，也非匀速转动，但

\frac{\partial_\theta g}{g} =-2\sin\theta+i(3+\cos\theta),\qquad n(E_g)=3.

与 $g_3=e^{3i\theta}$ 的比值有明确对数

g/g_3=e^h,\qquad h=2\cos\theta+i\sin\theta.

取式 (2) 的 $b_N,b_S$ ，则 $e^{b_N},e^{b_S}$ 实际构造 $L_3\to E_g$ 的同构。正幅度与周期性相位扰动都被消去；真正留下的是无法周期化的 $3\theta$ 。

张量积为什么成为加法

两线丛的张量积局部标架由两个局部基的张量给出，纤维坐标过渡因而相乘：

g^{E\otimes F}_{UV}=g^E_{UV}g^F_{UV}.

实情形的总符号相乘，复情形的绕数由式 (5) 相加。对偶线的过渡函数为倒数，因此

\epsilon(M\otimes M)=(-1)^2=1,\qquad L_m\otimes L_n\cong L_{m+n},\qquad L_n^*\cong L_{-n}.

例如 $L_2\otimes L_{-3}\cong L_{-1}$ 仍不平凡，而 $L_3\otimes L_3^*\cong L_0$ 。张量单位是秩一平凡丛；这与直和不同，两个秩一丛的直和已经是秩二。

非零整数也立即阻止全局处处非零截面，因为这样的截面就是一个全局复标架，会把丛平凡化。这是球面复线丛的整体障碍，不等于“复值函数必须有零点”：被阻止的是满足过渡规则的丛截面。更高秩、更一般底空间以及全纯分类需要额外理论，本页的符号或单个整数不自动给出那些情形的完整分类。

参考资料

Allen Hatcher，Vector Bundles and K-Theory，version 2.2, November 2017，§1.1, pp. 14–15 的过渡函数及张量积；§1.2, pp. 22–27 的球面拼接、Proposition 1.11 与线丛分类。该书采用连续范畴；本页使用光滑开覆盖与显式对数分拆，直接得到光滑同构。
Daniel Monclair，Groups and Geometry，27 September 2023，Theorem 6.2.6, p. 92，Proposition 7.2.8, pp. 116–117，以及 p. 123 的收缩平行移动：本页所用光滑重建和大图平凡化的依据。

形式陈述 ​

为什么两张大图上都能选到标架 ​

两张图之间的换标架方程 ​

圆周实线丛：两个接缝留下一个总符号 ​

一个复函数的绕数与单值对数 ​

球面复线丛：整数既必要又充分 ​

把非标准过渡函数化成标准模型 ​

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