定向平面丛的 Euler 类

形式陈述

设 $\Sigma$ 是连通、闭、定向光滑曲面， $E\to\Sigma$ 是带定向的实秩二向量丛。它的 Euler 类

e(E)\in H^2(\Sigma;\mathbb Z)

记录把一维骨架上的非零截面延伸到二维面时的绕数障碍。下文给出整数上链构造，而不先用曲率积分作定义。配对

\langle e(E),[\Sigma]\rangle\in\mathbb Z

称此丛的 Euler 数。

选择纤维内积 $h$ 与一个保持 $h$ 的联络。在正向正交单位标架 $(e_1,e_2)$ 下，存在实 $1$ -形式 $a$ ，使

\nabla e_1=a\,e_2,\qquad \nabla e_2=-a\,e_1. \tag{1}

按本课程的矩阵记号， $a=\omega^2{}_1=-\omega^1{}_2$ 。虽然 $a$ 一般不是全局形式， $-da$ 却在重叠处相等。因此

\mathcal E(\nabla)=-\frac{da}{2\pi} \tag{2}

定义全局二形式，并满足

[\mathcal E(\nabla)]_{\mathrm{dR}}=e(E)_{\mathbb R}, \qquad \int_\Sigma\mathcal E(\nabla)=\langle e(E),[\Sigma]\rangle. \tag{3}

第一式用de Rham 同构识别实上同调， $e(E)_{\mathbb R}$ 表示整数类换为实系数后的像。

本页完整处理上述闭曲面上的定向平面丛。一般定向秩 $r$ 丛的 Euler 类位于 $H^r$ ，可用 Thom 类定义；高秩曲率公式还需 Pfaffian，本页不以标量式 (2) 代替它。

直觉

在一条边上移动非零向量，可以自由转动以匹配两个端点。但围绕一个二维面回到起点后，向量在纤维坐标中可能已转了若干圈。只有总绕数为零，这条非零边界数据才能填进整个面而不经过零向量。

不同边上的选择可以把绕数从一个面转移到相邻面；对应代数正是给二维上链加一个余边界。Euler 类保留转移之后仍不能消掉的部分。曲率公式则把同一件事变成积分：公共边上的联络项相消，剩下各面的整数转角。

例子与边界

在一维骨架上选非零截面

选择足够细的有限光滑三角剖分，使每个闭三角形都包含在 $E$ 的某个平凡化开集中；使用的是光滑曲面的三角剖分及细分定理。给纤维选内积，在每个顶点选一个单位向量。每条边上的丛平凡，而单位圆路径连通，所以能沿边连接两个指定端点。如此得到一维骨架上的连续单位截面 $s$ ，可令它在每条边上分片光滑。

对一个按 $\Sigma$ 定向的三角形 $\sigma$ ，取其邻域上的正向正交单位标架 $f_\sigma=(f_1,f_2)$ 。在 $\partial\sigma$ 上写

s=\cos\theta_\sigma\,f_1+\sin\theta_\sigma\,f_2.

角度沿边界参数区间可以连续提升，但一周后可能相差 $2\pi$ 的整数倍。定义

c_s(\sigma)=\frac{\theta_\sigma(1)-\theta_\sigma(0)}{2\pi}. \tag{4}

若反转三角形方向就取负号，得到整数二维上链。由于没有三维单形，它自动是余循环，令

e(E)=[c_s].

式 (4) 采用正向纤维圆的绕数，因此也固定了 Euler 类的符号。

为什么改标架和改截面只改变代表

先固定 $s$ 。两个正向正交单位标架在整个三角形上相差一个 $S^1$ 值旋转，边界上的旋转可延拓到圆盘，绕数为零。因此在两标架中计算的式 (4) 完全相同。

再比较一维骨架上的两单位截面 $s_0,s_1$ 。定向与内积给出逐纤维旋转 $90^\circ$ 的算子 $J$ ，所以存在唯一连续函数 $q:\Sigma^{(1)}\to S^1$ ，使

s_1=(\operatorname{Re}q)s_0+(\operatorname{Im}q)Js_0.

在每个顶点 $v$ 选 $q(v)$ 的角度 $\psi(v)$ 。对有向边 $b:u\to v$ ，把 $q|_b$ 的角度从 $\psi(u)$ 开始提升，终值写作

\psi(v)+2\pi k(b),\qquad k(b)\in\mathbb Z.

反向边得到相反整数，因此 $k$ 是整数一上链。沿每个面边界相加，顶点的 $\psi(v)$ 差望远镜相消，得到

c_{s_1}-c_{s_0}=\delta k. \tag{5}

所以两截面给出同一个类。

内积也不是不变量的数据。若改用另一内积，可用两内积的凸组合连接它们，对固定局部正向标架逐点 Gram–Schmidt，并把固定非零截面按新长度归一化。所得边界映射随参数连续，绕数为整数而不能跳变。因此内积变化不改变类。下面的积分识别还会证明它与所选三角剖分无关。

非零截面与反向定向

若 $E$ 在整个曲面上有非零截面，就在一维骨架上取它的归一化限制。每个面的边界映射已经由面内非零截面延拓，故所有 $c_s(\sigma)=0$ ，从而 $e(E)=0$ 。因此非零 Euler 类给出非零截面的障碍。

反转纤维定向会把单位圆的正向反转，使 $e(E)$ 变号。仅反转底曲面定向时，丛的上同调类不变，但基本类变号，Euler 数随之变号。两种定向的作用不同。

推论与应用

度量联络的存在与换标架

纤维内积可由单位分解粘合局部正定内积得到。再在局部正向正交标架中取系数为零的联络，它保持内积；用单位分解加权平均，仍有

Xh(u,v)=h(\nabla_Xu,v)+h(u,\nabla_Xv),

因为权重和为一。故式 (1) 所需的度量联络总是存在。

在重叠区，另一正向正交标架写成

e'_1=\cos\phi\,e_1+\sin\phi\,e_2,\qquad e'_2=-\sin\phi\,e_1+\cos\phi\,e_2.

对第一式求协变导数并使用式 (1)，得到

\nabla e'_1=(a+d\phi)e'_2,\qquad a'=a+d\phi. \tag{6}

$\phi$ 可只局部存在，两个角度提升相差常数 $2\pi k$ ，所以 $d\phi$ 在交上仍良定义。再微分即有 $da'=da$ ，证明式 (2) 是全局形式。

同一内积下，两个度量联络的局部形式之差 $a'-a$ 在换标架时不变，因而拼成全局一形式 $\eta$ 。于是

\mathcal E(\nabla')-\mathcal E(\nabla) =-\frac{d\eta}{2\pi}.

这已说明实上同调类不依赖所选度量联络。一般不保持内积的联络矩阵不具有式 (1) 的反对称形状，不能未经处理就拿其中一个分量套用式 (2)。

Stokes 把每个面的曲率还原成绕数

在三角形 $\sigma$ 的标架 $f_\sigma$ 中记联络形式为 $a_\sigma$ 。沿其边界，前面选定的单位截面 $s$ 与 $Js$ 本身给出一组标架；相应的沿边一形式记作 $a_s$ 。由式 (6)，

a_s=a_\sigma+d\theta_\sigma.

因此由Stokes 定理，

\int_\sigma\mathcal E(\nabla) =-\frac1{2\pi}\int_{\partial\sigma}a_\sigma =c_s(\sigma)-\frac1{2\pi}\int_{\partial\sigma}a_s. \tag{7}

角度沿整条边界连续提升，面顶点处没有额外跳跃； $s$ 只须分片光滑即可作各段积分。

把式 (7) 对全部正向三角形相加。每条公共边两次出现且方向相反，而 $a_s$ 由同一个 $s$ 和同一个联络定义，故两项相消。于是

\int_\Sigma\mathcal E(\nabla) =\sum_\sigma c_s(\sigma) =\langle e(E),[\Sigma]\rangle\in\mathbb Z. \tag{8}

这是曲率积分为整数的直接理由。

由定向闭曲面的对偶， $H^2(\Sigma;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ ，在 $[\Sigma]$ 上的评价就是此同构。故任何细分或另一光滑三角剖分算出的类，只要有相同的式 (8)，就是同一类。实系数下也由同一评价识别 $H^2(\Sigma;\mathbb R)$ ，所以式 (8) 证明了式 (3) 中的 de Rham 类相等。这里底曲面紧闭且连通很关键，不能把一次总积分当成任意底空间上全部上同调信息。

球面拼接整数正是 Euler 数

定向实平面丛有内积后可把 $J$ 当作乘以 $i$ ，于是成为复线丛。在 $S^2$ 上取北、南正向正交单位标架，沿赤道用线丛分类页的约定

v_N=g_{NS}v_S,\qquad g_{NS}=e^{i\phi},\qquad n=\frac1{2\pi}\int_{\text{赤道}}d\phi.

赤道按北半球的边界正向行进。因为向量本身满足 $e_Nv_N=e_Sv_S$ ，标架关系是 $e_S=e_Ng_{NS}$ ，故

a_S=a_N+d\phi.

分别在两半球用 Stokes，南半球的边界方向相反，得到

\begin{aligned} \langle e(E),[S^2]\rangle &=-\frac1{2\pi} \left(\int_{\partial D_N}a_N+\int_{\partial D_S}a_S\right)\\ &=\frac1{2\pi}\int_{\text{赤道}}(a_S-a_N)=n. \end{aligned} \tag{9}

因此本页符号对应 $e(L_n)=n\,u$ ，其中 $\langle u,[S^2]\rangle=1$ 。也可直接看绕数障碍：取北标架为赤道上的 $s$ ，北面绕数为零；南坐标中的 $s$ 为 $g_{NS}^{-1}$ ，再按南面边界反向绕行，贡献恰为 $+n$ 。

切丛把 Euler 类变成高斯曲率

若 $E=T\Sigma$ 取曲面度量及 Levi–Civita 联络，按本课程的曲率约定，

R(X,Y)e_1=da(X,Y)e_2.

这是将式 (1) 代入 $\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$ 后直接相消的结果。再由

K=\langle R(e_1,e_2)e_2,e_1\rangle =-da(e_1,e_2)

得到

\mathcal E(\nabla)=\frac{K\,dA}{2\pi}.

局部转角与 Gauss–Bonnet继续证明切丛的 Euler 数等于曲面的 Euler 示性数，并实际计算球面两图的 $g_{NS}=e^{2i\phi}$ 与环面的全局标架。这将“一般丛的绕数障碍”和“曲面本身的拓扑计数”连接起来，而不把它们在定义时混同。

参考资料

Allen Hatcher，Vector Bundles and K-Theory，version 2.2, November 2017，§3.2, pp. 91–93 的 Euler 类；§3.3, Proposition 3.22, pp. 105–106 的截面障碍解释。本页在曲面上直接构造绕数余循环，并以式 (9) 固定正号。
Theodore Shifrin，Differential Geometry: A First Course in Curves and Surfaces，April 2021，Ch. 3 §3, pp. 102–105，尤其 Lemma 3.3、Gauss equation 与球面计算。其 $\omega_{12}$ 对应本页 $a=\omega^2{}_1$ ，满足 $da=-K\,dA$ 。
Brian Klatt，The Euler Class from a General Connection, Relative to a Metric，Introduction, pp. 1–2：度量联络的 Euler 曲率代表与一般联络的区别。这里只使用二维度量联络情形，式 (7)–(8) 已独立证明所需积分等式。

形式陈述 ​

在一维骨架上选非零截面 ​

为什么改标架和改截面只改变代表 ​

非零截面与反向定向 ​

度量联络的存在与换标架 ​

Stokes 把每个面的曲率还原成绕数 ​

球面拼接整数正是 Euler 数 ​

切丛把 Euler 类变成高斯曲率 ​

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