de Rham 定理

微分形式给每个小区域一个光滑测量规则；奇异上链给每条参数化链分配线性测量值。积分把前者转成后者。闭条件保证测量无法识别一个高维链的边界，恰当条件保证它在所有循环上取零。

定理比“积分只依赖类”更强：每个实系数拓扑上同调类都有闭形式代表，而且两个闭形式如果给出相同的拓扑测量，就只差一个恰当形式。前一句是满射性，后一句是单射性，均需要局部到整体的比较论证。

为什么先使用光滑奇异链 ​

普通奇异单形公理库奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。只要求连续，不能一般地拉回光滑微分形式。改取光滑奇异 $k$ 单形 $\sigma :{\mathrm{\Delta }}^k\to M$：在单形每一点附近的坐标中，它可以光滑延拓到参数域的开邻域。单形可以折叠、自交或降维，不要求嵌入。

令 $C_k^{\mathrm{\infty }}(M;\mathbb{R})$ 为这些单形生成的自由实向量空间，元素是有限实线性组合。边界仍为

面限制保持光滑，故得到光滑奇异链复形。令 $C_{\mathrm{\infty }}^k={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}(C_k^{\mathrm{\infty }},\mathbb{R})$，并定义 $\delta \phi (c)=\phi (\partial c)$。它的上同调记作 $H_{\mathrm{\infty }}^k(M;\mathbb{R})$。

定义积分上链

并对链线性延拓。$k=0$ 时就是在单形所指定的点上取函数值。每个参数单形紧致，且每条链只有有限项，故这里无须要求 $\omega$ 在 $M$ 上紧支撑。

带角点的 Stokes 与上链映射 ​

${\mathrm{\Delta }}^{k+1}$ 有角点，因此这里使用 Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。的单形版本 [1, Theorem 6.1]：各个余维一面按删去顶点的交错符号定向，积分边界就是 $\sum _j(-1{)}^j{\delta }_j$。

局部原因与半空间版本相同。在带角点坐标域 $[0,\mathrm{\infty }{)}^a\times {\mathbb{R}}^{m-a}$ 中，把紧支撑的 $(m-1)$ 形式写成 $\sum _j(-1{)}^{j-1}{f}_{j}d{u}_1\wedge \cdots \widehat{d{u}_j}\cdots \wedge d{u}_m$。外微分为 $(\sum _j{\partial }_j{f}_j)d{u}_1\wedge \cdots \wedge d{u}_m$；逐个坐标积分，微积分基本定理在 $u_j=0$ 留下对应边面项。无界端由支撑消去，余维至少二的交角在边面积分中测度为零，不产生额外“边界的边界”项。再用局部有限单位分解相加，即得角点版本；在紧单形上只需有限项。

因此对任意光滑 $(k+1)$ 单形 $\sigma$，

即 $\delta I_M=I_{M}d$，这是上链映射。闭形式映为余循环；若 $\omega$ 换成 $\omega +d\eta$，其积分上链改变 $\delta I_M\eta$，所以诱导良定义映射 $I_M^{\ast }:H_{\mathrm{dR}}^k(M)\to H_{\mathrm{\infty }}^k(M;\mathbb{R})$。

周期配对还有另一侧：对闭 $\omega$，若循环 $c^{\prime }$ 与 $c$ 相差边界 $\partial b$，则 ${\int }_{c^{\prime }}\omega -{\int }_c\omega ={\int }_{b}d\omega =0$；对恰当 $d\eta$ 与循环 $c$，则 ${\int }_{c}d\eta ={\int }_{\partial c}\eta =0$。这两个等式分别保证更换链代表和形式代表时，周期配对保持不变。

从光滑模型到通常奇异上同调 ​

包含 $j:C_{\ast }^{\mathrm{\infty }}(M;\mathbb{R})\hookrightarrow C_{\ast }^{\mathrm{sing}}(M;\mathbb{R})$ 诱导上链限制，进而给出

这是光滑奇异比较定理 [1, Theorem 4.4 及其后推论]，与奇异同调公理库奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。的平滑化有关。证明按维数协调各个面上的平滑近似，使公共面的选择相容，再用棱柱同伦比较所得链映射。

de Rham 定理断言 $I_M^{\ast }$ 也是同构，因此正式的比较映射是 ${\mathcal{I}}_M=(j^{\ast }{)}^{-1}{I}_M^{\ast }$：先在光滑链上积分，再通过平滑化比较回到通常奇异上同调。

自然性与圆周次数 ​

若 $f:M\to N$ 光滑，则对光滑单形 $\sigma$，

故比较映射满足 ${\mathcal{I}}_M\circ f^{\ast }=f^{\ast }\circ {\mathcal{I}}_N$。例如，对 $m\in \mathbb{Z}$，令 $f_m:S^1\to S^1$，$f_m(e^{it})=e^{imt}$，则 $f_m^{\ast }\eta =m\eta$。于是周期归一化类 $[\eta /(2\pi )]$ 被送到其 $m$ 倍；逆向绕两圈对应 $m=-2$，周期也乘以 $-2$。这是微分形式拉回与拓扑上同调作用的同一个计算。

从局部比较到整体同构 ​

Poincaré 引理公理库Poincaré 引理Poincare lemma · Poincaré lemma · 庞加莱引理星形开域上的正次数闭形式具有可由径向积分构造的原形式。使小坐标球上的正次数 de Rham 上同调为零；可收缩性使对应奇异上同调也为零，零次的积分映射则识别常数。因此局部比较成立。

要拼成整体，单位分解公理库单位分解Partition of unity用局部有限、非负且和为一的光滑函数族从属于开覆盖并粘合局部构造。为形式建立 Mayer–Vietoris 正合列：重叠区域的形式可乘上两个权重后延拓到两侧，从而得到所需的满射。积分与相应连接映射相容，再用正合列比较把已知同构传递给并集。好覆盖保证各个非空有限交也可收缩，从而为反复使用局部比较提供适当的区域。

有限好覆盖上的归纳给出具有这种覆盖的流形上的比较。处理一般非紧流形，还要使用适当的覆盖基、局部有限性和穷竭，将可数粘合归约到可控制的比较步骤；光滑与连续奇异模型之间另需前述平滑化定理。这些步骤构成一般证明的路线，完整推广采用 [1] Theorem 6.2，pp. 11–13 的比较结论。

周期判据与系数边界 ​

在实数域上，线性代数的普遍系数识别给出 $H^k(M;\mathbb{R})\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}(H_k(M;\mathbb{R}),\mathbb{R})$。因此闭形式恰当，当且仅当它在每个光滑 $k$ 循环上的周期都为零。圆周与穿孔平面的 $H_1$ 由一个循环生成，所以检查单位圆的周期就已充分；一般空间则须检测全部同调方向。

定理使用实数系数，整数挠类在转为实系数后消失。本文陈述的是自然分次向量空间同构；进一步比较楔积与杯积，需要在上同调层面证明乘法相容性，积分映射在上链层面一般并不严格保持这两种乘积。带边界流形也有相应版本，其局部比较使用半空间坐标域。