de Rham 上同调

Poincaré 引理公理库Poincaré 引理Poincare lemma · Poincaré lemma · 庞加莱引理星形开域上的正次数闭形式具有可由径向积分构造的原形式。已经消除了正次数闭形式的局部积分障碍。上同调保留的是全局剩余量：各个小区域里都能找到原形式，却未必能选择彼此相容的原形式。

对于一形式，闭路积分称为周期。给闭形式添加 $df$ 不会改变闭路积分，因为起终点的 $f$ 值相同。周期因此是上同调类的测量值。发现一个非零周期就能证明该类非零；要证明“这个周期已刻画全部类”，还需证明周期为零时一定恰当。下面在圆周和穿孔平面上完成这一步。

两支角度在上、下两个重叠分支上的差分别为 $0$ 与 $2\pi$，因而无法粘成全局单值角函数。图中蓝色实线是 $U$ 删去的负实轴，红色虚线是 $V$ 删去的正实轴；$U$、$V$ 各自都是整片切缝平面，灰圆仅标示角度位置。右侧逆时针闭路的周期 $2\pi$ 测出了这一粘合障碍。

圆周：周期既必要又充分 ​

令 $p:\mathbb{R}\to S^1$，$p(t)=(\cos t,\sin t)$，并令 $\eta$ 是 $-ydx+xdy$ 在单位圆上的限制，于是 $p^{\ast }\eta =dt$。任意光滑一形式 $\alpha$ 都可拉回为 $p^{\ast }\alpha =a(t)dt$，其中 $a$ 是 $2\pi$ 周期光滑函数。一维流形没有非零二形式，因此每个一形式都闭。

记

周期函数在任何长度 $2\pi$ 的区间积分相同，所以

$F$ 及其各阶导数都周期，故沿覆盖映射 $p$ 下降为圆周上的光滑函数 $f$。由 $dF=(a-c)dt$ 得 $p^{\ast }(\alpha -c\eta -df)=0$。$p$ 是满射局部微分同胚，拉回在形式上单射，因而

这给出完整分解。周期映射 $[\alpha ]\mapsto {\int }_{S^1}\alpha =A$ 良定义；上式说明其核为零，而 $(A/2\pi )\eta$ 实现任意实数周期。因此

另外 $H_{\mathrm{dR}}^0(S^1)=\mathbb{R}$，$k\ge 2$ 时形式空间已为零，所以 $H_{\mathrm{dR}}^k(S^1)=0$。例如 $a(t)=3/(2\pi )+2\cos t$ 时，$A=3$、$F(t)=2\sin t$，故 $\alpha =3\eta /(2\pi )+d(2y{|}_{S^1})$。

穿孔平面：由光滑同伦转移计算 ​

在 $M={\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 上令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，取

若 $P=-y/r^2$、$Q=x/r^2$，则 ${\partial }_{x}Q={\partial }_{y}P=(y^2-x^2)/r^4$，故 $d\omega =0$。在 $x>0$ 上，直接微分得 $d\arctan \left(y/x\right)=\omega$；沿单位圆则得到周期 $2\pi$。这与 Stokes 相容：单位圆围住的平面圆盘包含原点，超出了形式的定义域 $M$。

设 $q:M\to S^1$ 为 $q(x,y)=(x/r,y/r)$，$i:S^1\hookrightarrow M$ 为包含。径向形变收缩公理库形变收缩Deformation retract · Strong deformation retract在整个同伦过程中固定子空间，把母空间连续压到该子空间。

在 $[0,1]\times M$ 上光滑，系数为正，因而始终留在 $M$ 内；其端点为 $G_0={\mathrm{id}}_M$、$G_1=i\circ q$，且 $q\circ i={\mathrm{id}}_{S^1}$。

把这个光滑形变作用于形式，就能比较两空间的 de Rham 上同调。写 $G^{\ast }\alpha =dt\wedge b_t+c_t$，定义 $K_G\alpha ={\int }_0^1{b}_{t}dt$。由于 $d(G^{\ast }\alpha )=dt\wedge ({\partial }_t{c}_t-d_M{b}_t)+d_M{c}_t$，积分后得到

这就是 Poincaré 引理页证明的时间分解公式。对闭形式右侧恰当，故 $q^{\ast }{i}^{\ast }=\mathrm{id}$ 于上同调；另一复合 $i^{\ast }{q}^{\ast }=\mathrm{id}$ 直接来自 $q\circ i=\mathrm{id}$。于是二者互逆。

直接代入 $q$ 可核验 $q^{\ast }\eta =\omega$，而 $i^{\ast }\omega =\eta$。因此

是同构。一个闭一形式在穿孔平面上恰当，当且仅当其单位圆周期为零。相同互逆关系把圆周的所有次数都转移过来，给出 $H_{\mathrm{dR}}^0(M)=\mathbb{R}$ 及 $k\ge 2$ 时 $H_{\mathrm{dR}}^k(M)=0$。

综合任务：局部原函数与全局类 ​

取 $\beta =3\omega +d(\log r)+d(x/r)$。先验证闭性，再在 $x>0$ 上求原函数，最后计算逆时针一圈与顺时针两圈的周期，并判断其全局类。

因为 $d\omega =0$、$d^2=0$，所以 $d\beta =0$。右半平面的原函数是

后两项在整个 $M$ 上都是单值光滑函数，其微分在闭路上积分为零。因此两条指定闭路的周期分别为 $6\pi$ 与 $-12\pi$，且

所以 $\beta$ 局部有原函数，全局却不恰当。若删去 $3\omega$，剩余形式的全局原函数就是 $\log r+x/r$。

对于光滑奇异循环，Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。给出两项不同的良定义性：恰当形式在循环上积分为零；闭形式在边界上积分为零。因此积分同时只依赖形式的上同调类和循环的同调类。de Rham 定理公理库de Rham 定理de Rham theorem · 德拉姆定理沿光滑奇异链积分诱导 de Rham 上同调与实系数奇异上同调的自然同构。将上面两个 $H^1$ 计算中出现的现象推广到一般流形：全部周期共同检测每一个非零上同调类。

de Rham 上同调采用实数系数，整数同调中的挠信息在转为实系数时消失。本页允许任意光滑形式及原形式；若同时要求形式和原形式具有紧支撑，就得到紧支撑 de Rham 上同调，在非紧流形上可能有不同的结果。