Poincaré 对偶与 cap 积

一个 $p$ 次上链给每块 $p$ 维单形赋整数。定向流形中，每块 $p$ 维单形都有一块横向的 $n-p$ 维对偶胞腔；把所赋整数作为这些对偶胞腔的系数，上链就变成了互补维数的链。

关键不只是数目相等。原单形的“是某面的上一级单形”关系，在对偶分解中反向变成“该胞腔的边界包含另一个胞腔”。因此原余边界矩阵与对偶边界矩阵互相对应，闭上链才会变成循环，余边界才会变成边界。

还需把这个几何同构识别为正式陈述中的 cap 积。下面显式写出重心细分中的链，再用一个只保留各面最大顶点的映射计算其像；符号修正也在这一步得到核对。

左图只是闭曲面上两个相邻三角形的局部片段；按全局顶点顺序，它们在基本循环中的系数分别为 $+1,-1$，从而决定绿色对偶边的方向。右图把方形对边同向识别成环面，曲线箭头表示各自方向，交点的 $+1$ 按横向、纵向的次序计算。

cap 的边界公式与良定义性 ​

记上链余边界为 $\delta \phi (c)=\phi (\partial c)$。对 $\phi$ 为 $p$ 次、$c$ 为 $q$ 次链，有

当维数不够时相应项取零，零维链的普通边界为零。

可以直接按删顶点验证。对 $\sigma =[v_0,\dots ,v_q]$，$(\partial \sigma )⌢\phi$ 中删去 $v_i$ 的项分成两类：$i\le p$ 时，在前 $p+1$ 维面中删点，保留的尾面为 $[v_{p+1},\dots ,v_q]$；$i\ge p+1$ 时，前面固定为 $[v_0,\dots ,v_p]$，在尾面中删点。第一类与 $\sigma ⌢\delta \phi$ 的前 $p+1$ 项逐项抵消，余下其第 $i=p+1$ 项，恰是尾面边界中删去首顶点 $v_p$ 的项。其余尾面删点的符号由 $(-1{)}^i=(-1{)}^p(-1{)}^{i-p}$ 给出，得到式 (1)。

于是循环 cap 余循环仍是循环；若 $\partial c=0$，则 $c⌢\delta \psi$ 是边界；若 $\delta \phi =0$，则 $(\partial b)⌢\phi$ 也是边界。因此 cap 确实下降为

这一步适用于任意空间的奇异模型，本身尚未使用流形的对偶性。

端点与假设 ​

零次常数上链 $1$ 满足 $z⌢1=z$，所以 $D_M([1])=[M]$。若顶次上同调类 $\eta$ 满足 $⟨\eta ,[M]⟩=1$，其 cap 像是零维链，各点系数之和为 $1$，故给出 $H_0(M)=\mathbb{Z}$ 的正生成元。

闭性、定向与流形条件都有作用。圆盘的 $H^0(D^n)=\mathbb{Z}$ 而 $H_n(D^n)=0$，绝对版本失败；此时应使用相对基本类及带边界对偶。非紧的 ${\mathbb{R}}^n$ 同样没有普通顶维基本类，需要紧支撑上同调或局部有限同调。不可定向闭流形的整数版本也不能沿用，模二系数则可消去定向符号。任意有限复形的 link 未必是球面，其“对偶块”可能不是胞腔，下面的证明也就不成立。

对偶块为什么组成同一流形的胞腔分解 ​

重心细分 $\mathrm{sd}K$ 的顶点是非空面的重心 $b_{\sigma }$，单形是严格包含的面链

对一个 $p$ 维单形 $\sigma$，令闭对偶块 $B_{\sigma }$ 为所有从 $\sigma$ 出发、不断增大面的这些细分单形及其面的并。

包含 $\sigma$ 的严格大面，都唯一写成 $\sigma \cup \eta$，其中 $\eta$ 是 ${\mathrm{lk}}_K\sigma$ 的非空面。因此

右边是球面的锥，故为闭 $n-p$ 维球；当 $p=n$ 时它就是点 $b_{\sigma }$。它的边界由所有 $B_{\eta }$（$\eta ⊋\sigma$）组成。

这些闭块的胞腔内部互不相交且覆盖 $|K|$，这里内部是相对于各自球的维数而言。具体地，任一点落在唯一细分单形的相对内部，该单形最小的面 ${\sigma }_0$ 唯一决定它属于哪一个对偶块的内部。于是这些块组成有限正则胞腔分解 $K^{\vee }$。原来的 $p$ 维单形对应新的 $n-p$ 维胞腔，两者的维数互补，包含关系反向。

用关联数给每个对偶块选择一致的链代表 ​

若 $\sigma$ 是 $\eta$ 的余维一面，记

为 $\sigma$ 在 $\partial \eta$ 中的系数；不是余维一面时该关联数为零。对每个 $p$ 维 $\sigma$，定义

空乘积为 $1$，所以顶维单形的对偶点链为 ${\mathcal{D}}_{\tau }=a_{\tau }[b_{\tau }]$。式 (2) 对 $B_{\sigma }$ 的每个顶维细分单形给出系数 $\pm 1$。

逐项取边界，得到核心恒等式

证明分三种删点情况。删去最初的 $b_{\sigma }$，剩余链从某个 $\eta ={\sigma }_{p+1}$ 出发，原系数正好多一个因子 $[\eta :\sigma ]$，给出右边。删去中间的 $b_{{\sigma }_j}$ 时，固定前后两面；所有可插入的中间面贡献

这正是 ${\partial }^2=0$ 中相应余维二面的系数。删去最后的 $b_{\tau }$ 时，其余旗链固定，系数含有

来自基本循环的 $\partial z=0$。这三种情况穷尽边界，证明式 (3)。

特别地，${\mathcal{D}}_{\sigma }$ 的边界落在 $B_{\sigma }$ 的边界，且每个内部顶维小单形系数为单位 $\pm 1$。这些系数相容，故它给出

的一个生成元。这就选择了对偶胞腔的定向；无需另外猜测一套切向量与法向量的符号。

边界矩阵转置给出同调同构 ​

以 ${\sigma }^{\ast }$ 表示原单形基的对偶上链。因为

式 (3) 说明

逐次为同构，并满足

因此闭上链与对偶循环一一对应，余边界与对偶边界也一一对应，得到

这里右侧确实是 $M$ 的同调。胞腔同调定理公理库胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。适用于已经构造的有限正则胞腔分解。也可直接比较：将胞腔生成元送到式 (2) 的细分链，按对偶骨架过滤；每加入一层胞腔，两个相对链模型的同调都只在该层维数非零，且这些 ${\mathcal{D}}_{\sigma }$ 正好逐一映到球对边界的生成元。因此相对比较是同构，逐层长正合列归纳给出整体比较同构。这样式 (4) 不依赖把不同链模型当成定义上相同。

末顶点映射把对偶链送回 cap 积 ​

还需识别式 (4) 是哪个同构。以下把 $F_p$ 与刚证明的胞腔到细分链映射复合，仍记为 $F_p$，所以它的值是 $C_{n-p}(\mathrm{sd}K;\mathbb{Z})$ 中式 (2) 的实际链。令

这是每度整体改变一个符号，仍诱导同调同构；因为 ${\epsilon }_p=(-1{)}^{p+1}{\epsilon }_{p+1}$，

与闭基本循环 cap 的式 (1) 相符。

定义末顶点单纯映射

一条旗链的最大顶点弱递增，均位于最后的原单形中，所以它确为单纯映射；有重复顶点的像在对应维数的链群中为零。它的几何实现与细分的自然识别同伦公理库同伦Homotopy在连续参数下把一个连续映射变形成另一个连续映射。：每个细分单形及其像都留在同一个原单形内，可按直线连接，公共面上的连接相容。因此 ${\lambda }_{\ast }$ 给出同一个空间的同调同构。

固定 $\tau =[v_0,\dots ,v_n]$，考虑式 (2) 中在 ${\lambda }_{\mathrm{\#}}$ 下不消失的旗链。它的 $n-p+1$ 个最大顶点必须严格递增。一个 $p$ 维面已有 $p+1$ 个顶点，最大顶点至少是 $v_p$；又只能到 $v_n$，故唯一可能是

该旗链的关联数乘积为

而 ${\lambda }_{\mathrm{\#}}$ 把它送到 $[v_p,\dots ,v_n]$。乘上 $G_p$ 的另一个 ${\epsilon }_p$，两符号相消。所以对任意上链 $\phi$，严格有

左边由已经证明的对偶胞腔同构和同伦同构组成，因此右边的 $D_M$ 也是同构。单纯与奇异模型的比较尊重同一前面／后面公式，故得到形式陈述中的 Poincaré 对偶。

环面的整数余循环与完整乘积表 ​

沿用基本类页的 $3\times 3$ 环面三角剖分，顶点为 $v_{ij}$（$i,j\in \mathbb{Z}/3$），两类有向三角形为

基本循环 $z=\sum _{i,j}(A_{ij}+B_{ij})$ 采用平面的正向。令 $h_{ij},t_{ij},d_{ij}$ 分别为向右、向上和右上对角线的边，所有下标模 $3$。

定义整数一上链 $\alpha ,\beta$：

它们只记录是否正向穿过对应的周期接缝，反向边取负值。由于

代入表格就有 $\delta \alpha =\delta \beta =0$。横向循环 $a=\sum _i{h}_{i0}$ 与纵向循环 $b=\sum _j{t}_{0j}$ 满足

标准环面胞腔模型有一个点、两条环和一个沿交换子附着的二胞腔，两张边界都为零，故 $H_1(T^2;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}a\oplus \mathbb{Z}b$。这两个余循环给出对应的上同调对偶基。

计算杯积时必须统一顶点顺序。给 $v_{ij}$ 编号 $i+3j$，先把每个三角形排序，并把重排符号放入基本循环的系数，然后用

全部十八项中，$\alpha ⌣\beta$ 只有 $B_{22}$ 贡献 $1$：它按编号为 $[8,0,2]=+[0,2,8]$，其中 $\alpha [0,2]=-1$、$\beta [2,8]=-1$。反序乘积 $\beta ⌣\alpha$ 只有 $A_{22}$ 贡献 $-1$：$[8,6,0]=-[0,6,8]$，而 $\beta [0,6]=\alpha [6,8]=-1$。

对 ${\alpha }^2$，非零贡献为 $A_{20},B_{20},A_{21},B_{21}$ 上的 $1,-1,1,-1$，总和为零；${\beta }^2$ 的十八项全为零。因此

链级 ${\alpha }^2$ 在个别三角形上非零，但上同调平方为零；这正是计算类而非逐项表达式时需要作出的区别。

从杯积矩阵读出 cap 与交数 ​

按定义，对 $p$ 次 $\phi$、$n-p$ 次 $\psi$ 有

两边在每个单形上都是前面取 $\phi$、后面取 $\psi$，所以等式在链级已经成立。

令 $D\alpha =xa+yb$。用 $\alpha ,\beta$ 评价并代入式 (6)、(7)，得到 $x=0,y=1$。同理 $D\beta =-a$，即

因此 $D$ 从基 $(\alpha ,\beta )$ 到基 $(a,b)$ 的矩阵是

这是对偶映射的矩阵，与式 (6) 的双线性配对矩阵用途不同，不能混用。

几何上，取横向与纵向正向闭曲线的横截代表，在交点按“第一条的切向量、第二条的切向量”组成的基与流形定向比较符号。横向后接纵向是正向，故 $a\cdot b=1$；交换次序变号，自身可平移为不交曲线，所以

由双线性，

例如 $(2a+b)\cdot (a+3b)=5$。这也等于将两条曲线拉直后各个横截交点的符号和；若只数无符号交点，反向抵消的信息就会丢失。

在域系数下，对偶与线性泛函评价给出非退化杯积配对。整数系数有挠时，直接到 $\mathbb{Z}$ 的评价会看不见挠元；Poincaré 对偶仍是完整群的同构，但不能因此声称整数值杯积配对能检测所有挠信息。