流形基本类 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $M$ 是连通、闭、已定向的 $n\ge1$ 维流形；这里“闭”指紧致且无边界。每点 $x$ 的局部同调是一个相对同调群，由坐标球和切除定理有

H_n(M,M\setminus\{x\};\mathbb Z) \cong H_n(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus\{0\};\mathbb Z) \cong\mathbb Z.

流形的定向给出连续相容的局部生成元 $\mu_x$ ；在光滑情形，这与正向坐标图给出的定向一致。基本类定理说：存在唯一的

[M]\in H_n(M;\mathbb Z)

使自然限制映射 $r_x:H_n(M;\mathbb Z)\to H_n(M,M\setminus\{x\};\mathbb Z)$ 对每点都满足 $r_x([M])=\mu_x$ ，而且

H_n(M;\mathbb Z)=\mathbb Z[M].

反转定向把 $[M]$ 变为 $-[M]$ 。因此“顶维同调同构于 $\mathbb Z$ ”只确定群的结构，定向进一步选定其中的一个生成元。

下面完整证明有有限组合三角剖分的情形。具体假设 $M=|K|$ ，其中 $K$ 是有限、纯 $n$ 维单纯复形， $|K|$ 连通；对每个非空且维数小于 $n$ 的面 $\tau$ ，其 link 是维数 $n-\dim\tau-1$ 的 PL 球面。这里纯维数表示每个单形都包含于某个 $n$ 维单形；link 由与 $\tau$ 无公共顶点、但与 $\tau$ 合起来仍是单形的那些面组成。条件不施加于空面，因而没有要求整个 $K$ 是球面。这些假设保证 $K$ 是无边界组合流形。一般拓扑流形不必具有这种三角剖分；一般版本的局部同调证明见 Hatcher §3.3、Theorem 3.26，或 Miller §31、Theorem 31.9 与 Corollary 31.10。

给各顶维单形选择一致定向：两个单形共享一个 $(n-1)$ 维面时，它们在这个面上诱导的定向相反。记这些有向顶维单形为 $\sigma$ ，定义单纯链

c_K=\sum_{\sigma\in K_n}\sigma.

要证明的是：这条链确为循环，所有顶维循环都是它的整数倍，而且它在每点给出选定的局部生成元。单纯同调与几何实现的奇异同调之间的标准自然同构，把所得 $[c_K]$ 视为 $[M]$ 。

直觉

一块有向三角形有三条带符号的边。把两块方向相容的三角形拼起来，共享边在两块的边界中各出现一次，方向相反，因而在相加时消失。闭曲面的每条边都这样出现两次，所有边界最终抵消。高维证明完全相同，只是把边换成余维一的面。

基本类还包含一个比“边界消失”更强的结论：若给不同三角形分别乘上整数，要继续抵消共享边，相邻两块就必须具有相同系数。只要能沿共享边走遍全部三角形，这个整数就被传播到整个曲面。因此顶维循环只有一个自由参数；定向把系数为 $1$ 的那条选为基本循环。

第一步：逐面消去边界。 任一 $(n-1)$ 维面 $\eta$ 的 link 是 $S^0$ ，恰有两个顶点，所以 $\eta$ 恰好属于两个顶维单形 $\sigma,\sigma'$ 。固定 $\eta$ 的一个参考定向，设它在 $\partial\sigma$ 中的系数为 $\varepsilon\in\{1,-1\}$ 。一致定向使它在 $\partial\sigma'$ 中的系数为 $-\varepsilon$ ，故在 $\partial c_K$ 中系数为零。这对每个余维一面都成立，于是 $\partial c_K=0$ 。

第二步：证明顶维单形的邻接图连通。 图的顶点是顶维单形，两顶点之间连边表示对应单形共享余维一面。对维数归纳。 $n=1$ 时，纯一维复形是图；连通性使任意两条边能由一串共享端点的边连接，所求成立。

设结论对更低正维数的组合流形已成立。固定一个非空真面 $\tau$ 。包含 $\tau$ 的顶维单形与 $L=\operatorname{lk}_K\tau$ 的顶维单形一一对应。若 $\dim L=0$ ，只有两个这样的单形，且它们直接共享 $\tau$ ；若 $\dim L\ge1$ ， $L$ 是连通 PL 球面，其非空真面的 link 仍是相应维数的 PL 球面。归纳假设说明 $L$ 的顶维邻接图连通，而 $L$ 中共享余维一面的两块，在 $K$ 中仍共享余维一面。因此包含 $\tau$ 的全部顶维单形属于同一个邻接分支。

每个点 $x\in|K|$ 落在唯一单形 $\tau$ 的相对内部。若 $\tau$ 是顶维单形，没有选择问题；否则由上一段，所有包含 $x$ 的顶维单形属于同一个邻接分支。所以各邻接分支所含顶维单形的闭单形之并互不相交，并且覆盖 $|K|$ 。由于 $K$ 有限，每个这样的并是闭集，其补集也是有限个闭单形之并，因而它同时为开集。 $|K|$ 连通，只可能有一个非空分支。这正是流形的 link 条件发挥作用的地方：一般连通复形的顶维邻接图未必连通，例如只在一个顶点相接的两个三角形。

第三步：传播系数并排除边界。 任取顶维循环

z=\sum_{\sigma\in K_n}a_\sigma\sigma.

对共享面 $\eta=\sigma\cap\sigma'$ ， $\partial z$ 中的对应系数是 $\varepsilon(a_\sigma-a_{\sigma'})$ 。循环条件给出 $a_\sigma=a_{\sigma'}$ ；邻接图连通再给出全部系数等于同一个整数 $a$ 。因此

\ker\partial_n=\mathbb Zc_K.

$K$ 没有 $(n+1)$ 维单形，故单纯链群 $C_{n+1}(K;\mathbb Z)=0$ ，没有非零顶维边界。于是

H_n(K;\mathbb Z)=\mathbb Z[c_K].

这里使用的是单纯链模型；奇异链群在更高维并不为零，但两种同调的自然同构保证所得非零类不会在奇异模型中消失。

第四步：核对每点的局部生成元。 若 $y$ 在顶维单形内部，切除后其他单形都远离 $y$ ，只剩系数为 $1$ 的这一块有向单形。标准有向球的相对顶维类是局部群的生成元，因此 $r_y([c_K])=\mu_y$ 。

为把这个结论延伸到面上的点，取任一点 $x$ 的定向坐标邻域 $U$ ，在其中选一个以 $x$ 为内点的闭坐标球 $B$ 。对每个 $y\in\operatorname{int}B$ ，限制映射都分解为

H_n(M)\longrightarrow H_n(M,M\setminus B) \longrightarrow H_n(M,M\setminus\{y\}).

中间的群由切除同构于 $H_n(U,U\setminus B)\cong\mathbb Z$ ，后一个箭头是同构。具体地，取 $U$ 为稍大的同心坐标球； $U\setminus B$ 收缩到包围 $B$ 的球面， $U\setminus\{y\}$ 收缩到包围 $y$ 的球面，包含映射在约化 $(n-1)$ 维同调上为定向一致的同构，再用空间对的长正合列即可。这个论证也适用于 $n=1$ ，此时用约化零维同调。

所以同一绝对类在 $\operatorname{int}B$ 内所有局部群中的系数相同，这给出了局部常性的具体理由。顶维单形内部的点在 $M$ 中稠密，故可在 $\operatorname{int}B$ 选取上一段已核对过的 $y$ ；它的系数为 $1$ ， $x$ 的系数也就为 $1$ 。因此 $[c_K]$ 在每点都给出规定的局部定向。任一其他类是 $a[c_K]$ ，在一个单形内部的局部系数就是 $a$ ，故满足同样局部要求必有 $a=1$ 。存在性、生成性和唯一性至此都已证明。

例子与边界

真正的 $3\times3$ 环面三角剖分。 将平面上的 $3\times3$ 方格按平移识别对边，顶点记为 $v_{ij}$ ，其中 $i,j\in\mathbb Z/3\mathbb Z$ 。每个小方格沿左下至右上的对角线分成两块，按平面的正向写为

A_{ij}=[v_{ij},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1}],\qquad B_{ij}=[v_{ij},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}].

所有下标都模 $3$ 计算。这给出 $9$ 个顶点、 $27$ 条边和 $18$ 个三角形；每块三角形有三个不同的顶点，各单形由顶点集合区分，是环面的单纯三角剖分。只用一个方格直接识别对边会产生重复顶点，适合胞腔或其他商模型，不能原样当作这里的单纯复形。

固定三类有向边

h_{ij}=[v_{ij},v_{i+1,j}],\qquad t_{ij}=[v_{ij},v_{i,j+1}],\qquad d_{ij}=[v_{ij},v_{i+1,j+1}].

按 $\partial[a,b,c]=[b,c]-[a,c]+[a,b]$ 逐项计算，得到

\partial A_{ij}=h_{ij}+t_{i+1,j}-d_{ij},\qquad \partial B_{ij}=d_{ij}-h_{i,j+1}-t_{ij}.

图中画的正是一个方格内的这次抵消，其中简记 $h=h_{ij}$ 、 $h'=h_{i,j+1}$ 、 $t=t_{ij}$ 、 $t'=t_{i+1,j}$ 、 $d=d_{ij}$ 。每个方格里的对角线先消失，随后周期求和让横边、竖边也分别消失：

\begin{aligned} c&=\sum_{i,j\in\mathbb Z/3\mathbb Z}(A_{ij}+B_{ij}),\\ \partial c&=\sum_{i,j}(h_{ij}-h_{i,j+1}) +\sum_{i,j}(t_{i+1,j}-t_{ij})=0. \end{aligned}

例如固定 $i$ 的横边部分就是 $(h_{i0}-h_{i1})+(h_{i1}-h_{i2})+(h_{i2}-h_{i0})=0$ ；竖边沿 $i$ 同样首尾相消。由刚证明的系数传播，所有二维循环都是 $ac$ ，故 $H_2(T^2;\mathbb Z)=\mathbb Z[c]$ 。计数 $9-27+18=0$ 与环面的 Euler 示性数一致，但顶维同调的结论来自抵消和传播，而非这条计数等式。

四面体边界的符号核对。 对顶点 $0,1,2,3$ ，球面上的基本循环是

c=[123]-[023]+[013]-[012].

把四项全部展开：

\begin{aligned} \partial c={}&([23]-[13]+[12]) -([23]-[03]+[02])\\ &+([13]-[03]+[01]) -([12]-[02]+[01])=0. \end{aligned}

每条边恰好以相反符号出现两次。虽然这个表达式在实心四面体中是 $\partial[0123]$ ，四面体的边界复形本身没有三维单形，故它在那里不是边界，而是非零基本类。把四个系数同时变号得到相反定向。

改变系数。 对有单位元的交换环 $R$ ，一致定向的抵消与传播给出 $H_n(M;R)\cong R$ 。一个类若要在每点生成局部的自由秩一 $R$ -模，其系数必须是单位元；非零并不足够，例如整数系数下 $2[M]$ 不生成局部群。固定一个 $R$ -定向后，基本类仍由指定的局部生成元唯一确定。

若流形不可定向，先任意定向各顶维单形。共享面的循环方程变成 $a_{\sigma'}=\pm a_\sigma$ ；沿邻接图选路径，可以由一个起始系数恢复全部系数。一条翻转方向的闭路要求 $a=-a$ ，即 $2a=0$ 。因此在连通闭的非定向情形，顶维群对应于 $R$ 的 $2$ -挠子群 $\{a\in R:2a=0\}$ 。对 $\mathbb Z$ 它为零；对 $\mathbb F_2$ 符号全部消失，所有顶维单形之和总给出唯一非零基本类。一般系数环可能有非零 $2$ -挠元，不能沿用整数情形的零群结论。

边界、非紧和不连通。 若紧致定向流形有非空边界，内部的余维一面照常相消，边界面只出现一次，于是 $\partial c$ 正是带诱导定向的边界链。基本类属于

[M,\partial M]\in H_n(M,\partial M;\mathbb Z),\qquad \delta[M,\partial M]=[\partial M],

其中 $\delta$ 是对的长正合列中的连接同态。圆盘满足 $H_2(D^2)=0$ 、 $H_2(D^2,S^1)\cong\mathbb Z$ ：同一张膜在绝对链中有边缘，在相对链中边缘被商掉。

非紧连通定向流形的普通顶维同调为零，因而没有上述普通基本类；至少其不可能具有处处为生成元的类可直接看出：每条普通奇异链仅含有限个单形，支集紧致，在支集外的点限制为零。允许局部有限链后可定义另一种基本类，这属于局部有限同调。若闭流形有 $k$ 个连通分支，则每个分支贡献一个生成元，顶维整数同调为 $\mathbb Z^k$ ；基本类由各分支的定向分别指定。

推论与应用

三角剖分只是计算方式。 同一已定向流形换用另一套三角剖分，顶维单形的数目和基本循环的链代表都会变化，但它们在每点都限制为相同的局部生成元，因唯一性代表同一个 $[M]$ 。因此基本类是流形与定向的数据，不是剖分的附加结构。

映射的度。 对同维闭连通定向流形之间的连续映射 $f:M\to N$ ，顶维同调只有一个生成元，所以存在唯一整数 $\deg f$ 满足

f_*[M]=(\deg f)[N].

这把“覆盖目标多少次，并如何计入方向”转成一个精确代数定义；复合映射的度相乘，来自诱导同态的复合性。改变源或目标的一侧定向会改变度的符号，同时反转两侧则不变。

对偶与积分的入口。 基本类使上同调类能够在整个流形上取值： $\alpha\in H^n(M;R)$ 可与 $[M]$ 配对得到 $\langle\alpha,[M]\rangle\in R$ 。Poincaré 对偶沿用本页的组合闭流形假设，把基本循环的系数写入对偶胞腔的旗链；顶端边界的抵消正是 $\partial z=0$ 。再用末顶点映射证明所得同构等于与 $[M]$ 的 cap 积，并继续在本页的 $3\times3$ 环面上计算整数交配矩阵。

参考资料

Allen Hatcher，Algebraic Topology, Chapter 3，§3.3：印刷页 234–235 的局部定向与系数，页 236 的 Theorem 3.26 和基本类定义，页 238 的有向单形求和构造；页 241 的 Theorem 3.30 说明其在 Poincaré 对偶中的作用，页 253 讨论边界。
Haynes Miller，Lectures on Algebraic Topology, MIT 18.905, Fall 2016，§31，印刷页 83–87，尤其页 87 的 Definition 31.8、Theorem 31.9 与 Corollary 31.10；§32，页 88–90，以相对 Mayer–Vietoris 方法展开局部到整体的证明。

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