Chern 类

$u$ 在每条射影纤维上只有有限多个独立幂，但在总空间中，下一次幂未必为零。将它写成低次幂时出现的底空间系数，正是丛整体扭曲留下的记录。

“唯一关系”很重要：若系数可以随意改动，它们便不是丛的不变量。射影丛的自由模基恰好排除了这种歧义，使后续所有性质都能靠拉回关系和比较系数来核验。

一级类的正负号 ​

对复线丛 $L$，$\mathbb{P}(L)=X$，$S=L$，所以式 (1) 为

复线分类中的二次类满足 $\lambda (L^{\ast })=-\lambda (L)$，故 $c_1(L)=\lambda (L)$。尤其在 ${\mathbb{CP}}^m$ 上，对典范线公理库典范子丛与商丛Tautological vector bundle · Universal subbundle · Tautological quotient bundle在Grassmann图上同时构造典范子丛和商丛，明确正交补的选择性，并核对复射影典范线的负号。及其对偶，

其中 $h$ 在复定向射影直线上积分为1。

这个符号也与闭曲面 Euler 类公理库定向平面丛的 Euler 类Euler class · Euler class of an oriented plane bundle · 欧拉类在闭定向曲面上用边界绕数构造定向秩二实丛的整数 Euler 类，证明选择无关，并把它与度量联络的曲率积分及球面拼接整数直接对应。相容。在 ${\mathbb{CP}}^1$ 的两图中，典范线标架满足 $e_{\mathrm{\infty }}=t^{-1}{e}_0$；沿 $t$ 图圆盘的正向边界，其坐标过渡绕数为 $-1$。该绕数约定因此给底层定向实平面丛Euler数 $-1$，正好等于 $c_1$ 的评价。

对一般闭定向曲面，复线分类图可同伦到 ${\mathbb{CP}}^{\mathrm{\infty }}$ 的二维骨架 ${\mathbb{CP}}^1$。在每个二维胞腔上，拉回同时保留过渡绕数和该二次类的评价，故 $c_1(L)=e(L_{\mathbb{R}})$。这里比较的是闭曲面上的绕数构造；一般底空间的 Euler 类还需 Thom 类等独立构造。

CP2上一个顶类为负的秩二丛 ​

在 $X={\mathbb{CP}}^2$ 上，$H^{\ast }(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[h]/(h^3)$。取

由下面证明的线丛张量规则和直和线丛公式，

所以 $c_1(E)=h$、$c_2(E)=-2h^2$。特征类是带符号的整数上同调类，负系数完全允许，不是维数计算出错。

对比 $F=\mathcal{O}(1)\oplus \mathbf{1}$，有 $c_1(F)=h$，但 $c_2(F)=0$。因此 $E,F$ 不同构，虽然一级类相同。对于高秩丛，不能把复线丛的单个整数分类直接沿用。

相应射影丛的完整环为

这是先前被留待解释的高次关系：$u^2$ 已不等于0。若选其中 $\mathcal{O}(2)$ 给出的截面，$u$ 拉回为 $-2h$；若选 $\mathcal{O}(-1)$ 截面，$u$ 拉回为 $h$。两者代入关系都为零，提供独立的符号检查。

自然性由唯一关系直接得到 ​

对 $f:Y\to X$，有射影丛拉回方块 $\mathbb{P}(f^{\ast }E)\to \mathbb{P}(E)$。它将典范子线及对偶一起拉回，因而将 $u_E$ 拉回为 $u_{f^{\ast }E}$。把式 (1) 拉回，得到以 $f^{\ast }{c}_i(E)$ 为系数的同一个首一关系。

$\mathbb{P}(f^{\ast }E)$ 的模基仍有唯一表达，所以

丛同构也识别相同的典范线与关系，因此类只依赖同构类型。

复线的张量积为何对应相加 ​

由复线分类公理库向量丛的 Grassmann 分类Classification of vector bundles · Classifying map to a Grassmannian以单位分解构造丛的有限维嵌入，再用不交坐标块和邻近投影证明有限CW上的Grassmann同伦分类。，只需检查两条通用线的张量积。可先在足够大的有限乘积 ${\mathbb{CP}}^N\times {\mathbb{CP}}^N$ 上工作；二次上同调为两因子生成元的直和。

设两条通用线的一级类为 $x,y$。张量积线的一级类必为 $ax+by$。限制到第一因子时，第二条线变成平凡线，故 $a=1$；限制到第二因子同理 $b=1$。再沿分类图拉回，得到

于是 $c_1(\mathcal{O}(m))=mh$ 对所有整数 $m$ 成立。论证只用了一级类的分类定义、自然性及二次群，没有使用高秩Whitney公式。

不借分裂原理，先算已经分裂的丛 ​

设 $E=L_1\oplus \cdots \oplus L_r$，记 $x_i=c_1(L_i)$。每个 $L_i$ 给截面 ${\sigma }_i:X\to \mathbb{P}(E)$，且 ${\sigma }_i^{\ast }S=L_i$，所以 ${\sigma }_i^{\ast }u=-x_i$。

为了让“有这些根”能够合法地推出多项式分解，先对通用分裂丛在 $({\mathbb{CP}}^N{)}^r$ 上计算，取 $N\ge r$。直到次数 $2r$，其上同调与整数多项式环 $\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_r]$ 的相应次数完全相同；截断关系 $x_i^{N+1}=0$ 尚未出现。

式 (1) 给首一多项式

沿 ${\sigma }_i$ 拉回证明 $Q(-x_i)=0$。这些等式总次数为 $r$，故是上述普通多项式环中的真实恒等式。先由根 $-x_1$ 得 $Q=(T+x_1)Q_1$；再代入 $-x_2$，得 $(x_1-x_2)Q_1(-x_2)=0$。整数多项式环是整环，$x_1-x_2\ne 0$，所以 $Q_1(-x_2)=0$。依次进行，得到

任意有限CW上的有限条线丛可同时由某个足够大的 $({\mathbb{CP}}^N{)}^r$ 拉回，所以

不能直接在任意底空间的上同调环里用根做除法，因为那里可能有零因子；先到通用低次数多项式环计算，正是为补上这一条件。

顶类非零阻止处处非零截面 ​

若 $E$ 有处处非零截面，它张成一条平凡子线，并给 $\sigma :X\to \mathbb{P}(E)$。这时 ${\sigma }^{\ast }S$ 平凡，故 ${\sigma }^{\ast }u=0$。将式 (1) 沿 $\sigma$ 拉回，除最后一项外都消失，得到 $c_r(E)=0$。

所以算例中的 $c_2(E)=-2h^2\ne 0$ 排除了处处非零截面。这个结论直接来自射影丛关系，不需要提前引用一般Whitney公式或尚未构造的Thom类。反向“顶类为零必有非零截面”在任意维数下并不成立，还可能有更高阶障碍。