Stiefel–Whitney 类

实线沿闭路回来，最先可能发生的是方向反转。$w_1$ 用模2记录这件事。更高次类记录不能仅靠沿闭路检查发现的整体障碍。

模2让正负号相同，方便在不定向的情形中计算，但也会丢掉偶数信息。因此类全部为零不等于丛平凡，下面球面的切丛就是具体边界。

RP2的切丛如何变成三个典范线 ​

在 ${\mathbb{RP}}^2$ 上，点为 ${\mathbb{R}}^3$ 中的直线 $\ell$，典范线记为 $\gamma$。移动直线的切向量由从 $\ell$ 到正交补 ${\ell }^{\perp }$ 的线性映射描述，因此

加上恒等缩放方向 $\mathrm{Hom}(\gamma ,\gamma )\cong \mathbf{1}$，得到

实线在选定内积后与其对偶同构，故右侧是 $3\gamma$。

普通上同调公理库上同调Cohomology对链复形取到系数群的同态形成上链复形，再取上同调得到反变不变量。计算给

由式 (1) 及 $w(\gamma )=1+a$，

所以 $w_1=a\ne 0$，切丛不能定向；$w_2=a^2\ne 0$ 还排除处处非零的切向量场。后一个结论可直接由式 (2) 验证：非零截面给平凡子线和射影丛截面，沿它拉回后 $z=0$，会迫使顶类为零。

S2的全部模2类消失，却仍不平凡 ​

单位球面在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的外法线给平凡法线丛，所以

Whitney公式给 $w(T{S}^2)=1$。但它的整数Euler数公理库定向平面丛的 Euler 类Euler class · Euler class of an oriented plane bundle · 欧拉类在闭定向曲面上用边界绕数构造定向秩二实丛的整数 Euler 类，证明选择无关，并把它与度量联络的曲率积分及球面拼接整数直接对应。为2，仍没有处处非零切向量场，当然不平凡。

这不是两种不变量矛盾，而是 $2$ 在模2中变成0。Stiefel–Whitney类能证明许多丛非平凡，却不是所有实丛的完整分类表。

自然性与线丛归一化 ​

拉回实丛时，其射影丛和典范线一同拉回，所以式 (2) 的系数也随之拉回；自由模基的唯一性给出自然性。秩1时射影丛就是底空间，式 (2) 变为 $z+w_1(L)=0$。在模2中负号等于正号，因此 $w_1(L)={\lambda }_{\mathbb{R}}(L)$。

不借后续分裂原理证明Whitney公式 ​

令 $E=A\oplus B$，两项秩分别为 $a,b$。在 $Y={\mathbb{P}}_{\mathbb{R}}(E)$ 中，$\mathbb{P}(A)$ 与 $\mathbb{P}(B)$ 不相交。定义

其中省略底空间拉回；$Q_B$ 同理。$Q_A(z)$ 限制到 $\mathbb{P}(A)$ 为零。

开集 $U_A=Y\setminus \mathbb{P}(B)$ 由所有具有非零 $A$ 分量的直线组成，将 $B$ 分量缩到零给出到 $\mathbb{P}(A)$ 的变形收缩。因此 $Q_A$ 在 $U_A$ 上也为零，可由空间对的长正合列提升到 $H^{\ast }(Y,U_A;{\mathbb{F}}_2)$。同理 $Q_B$ 提升到 $H^{\ast }(Y,U_B;{\mathbb{F}}_2)$，其中 $U_B=Y\setminus \mathbb{P}(A)$。

这里使用相对上同调公理库上同调Cohomology对链复形取到系数群的同态形成上链复形，再取上同调得到反变不变量。及对开集对定义的相对杯积公理库杯积Cup product使上同调成为分次环的自然双线性乘法。，这两个提升的积落到

因此 $Q_A(z)Q_B(z)=0$。它是首一的 $a+b$ 次关系；与式 (2) 的唯一系数比较，便得 $w(E)=w(A)w(B)$。这个证明先用已定义的系数关系，不预设待证乘法公式。

w1恰好检测定向 ​

在每张实标架图中选方向，重叠的过渡矩阵行列式为正或负。用0或1记录其符号，就得到模2的一次粘合数据；能通过翻转各图方向将其全部改成正号，恰等价于全丛可定向。

这个符号类就是 $w_1(E)$。可沿任意闭路验证：圆周上的正秩 $r$ 实丛由一张拼接矩阵给出，矩阵在 $G{L}_r(\mathbb{R})$ 的正、负两个连通分支中，分别可变到 $I$ 或 $\mathrm{diag}(-1,1,\dots ,1)$。两种丛因而分别为平凡丛或Möbius线加平凡 $(r-1)$ 丛，式 (1) 的 $w_1$ 正好给该符号。一次上同调类由这些闭路评价确定，所以

复线的底层实丛保留哪一项 ​

复线丛的底层实平面丛天然定向，故 $w_1=0$。对 ${\mathbb{CP}}^N$ 上的典范复线 ${\gamma }_{\mathbb{C}}$，其实射影丛自然同构于 ${\mathbb{RP}}^{2N+1}$：一条实线唯一张成一条复线。式 (2) 因而给 $p^{\ast }{w}_2=z^2$。

当 $N\ge 1$ 时，$z^2$ 在 ${\mathbb{RP}}^{2N+1}$ 的模2环中非零，所以 $w_2$ 是 ${\mathbb{CP}}^N$ 唯一的非零二次类，即第一 Chern 类公理库Chern 类Chern classes · Total Chern class由射影丛的唯一首一关系定义Chern类，非循环地证明直和线丛公式，并计算CP2上的负顶类及截面障碍。 $c_1({\gamma }_{\mathbb{C}})$ 的模2像。沿复线分类图拉回，得到

其中 ${\rho }_2$ 表示系数模2。一般复丛的对应式将在分裂原理后由线丛情形推出。